构建促进学生深刻理解的数学课堂

陈金飞

摘要：“关注学生数学成长，为学生的理解而教”已然成为当下数学教学的重要目标之一，而通过整体把握教学结构和整体定位思维结构，却是实现学生智慧学习、深刻理解的重要途径与策略。教学中，注重对可类比知识、单元知识和同一知识内容不同学段的整体设计，对于促进学生深刻理解数学，具有重要的导引作用；注重整体立意、拓展体验、关联思考的思维策略培养，能有效地提升学生对数学本质的理解深度。

关键词：整体教学 整体思维 深刻理解  数学课堂

数学学习，理解无疑是第一位的。心理学研究表明：人在知觉的过程中总有追求整体性的特点，整体是由各种相互联系的要素组成，对各要素的把握只有放到整体的结构中才能理解清晰。在教学时，如何把握整体，促使学生深刻理解？笔者基于多年数学教学经验，谈几点认识。

一、定位整体教学结构，在整体融合中促进学生理解

在数学知识网络中，每个专题的知识既具有相对独立性，相互之间又具有相互关联性。正因为数学知识之间是相互联系、有机发展的，因此，如果在各知识点之间建立适当的“联结”，并能灵活“变式”，则能帮助学生构建深刻而完整的知识体系。在这里，“联结”是指挖掘知识之间、事物之间的相互关联的内涵或外延，从纵向或横向等多侧面、多角度去把握知识体系、构建新的知识网络。

1．可类比知识的整体设计。

实现数学知识理解的重要标志是让学生在一定的知识系统中明确知识之间的联系。教学时，教师引导学生通过不断的整理归纳，使所学知识形成一定的系统，是加深数学知识理解的一条重要途径。特别是在概念学习中，可通过建立概念体系去加深对数学概念的理解，因为“一个科学概念的真正含义，就意指它在与其他概念的关系中处于一定的位置”。如对数的计算、量的计量、几何初步知识等内容，同样需要形成一定的知识系统，在相应的知识体系上去理解这些内容，可达到居高望远的功效，更容易发现知识之间内在的联系与区别。

例如教学“面积单位”时，不能孤立地关注学生是否对于“平方厘米、平方分米、平方米”建立正确的表象，而要充分研习教材，把面积单位与长度单位、体积单位进行关联思考和整体设计。学生已有的长度单位，现在学习的面积概念、面积单位，以及到高年级要学习的体积概念、体积度量单位，这些知识是一类纵向的、具有内在联系的，是线、面、体相关概念和度量单位的一类课。学习长度应该要测量，应该有单位，学习面积也一样，后续学习体积也一样，都需要测量，都应该有测量单位。用单位长度为边长的正方形围出了面积单位，因此，想到长度单位，联想到对应的面积单位，帮助学生整体建构知识体系，促使学生有意义地掌握知识、形成能力。

2．单元知识的整体设计。

如何关注数学知识之间的联系——包括同一领域内容之间的相互连接、不同知识领域之间的实质性联系。我们尝试单元整体教学设计，关注知识的结构联结。建构单元的知识体系，更有效地找寻到单元教学的主脉络，让教师教得明晰、明确、明白，让学生学得有思路、有方法、有收获。当然，单元整体不应是线性的、机械的汇整，而应是整体的模块、高效的融合，整合的课堂应当是清晰的、利于学生理解的。

例如苏教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级上册中“小数乘除法”一课，课本分两段编排：第一段让学生借助计算器探究发现小数乘整数和小数除以整数的计算方法，中间插一个单元“公顷和平方千米”，再组织学习小数乘小数和小数除以小数。

这样的分段安排，容易造成学生过分关注一个个分散、零碎的“知识点”，很少去关注知识之间的联系和发展。刚知道“是什么”，想了解“为什么”却要等到下一循环。因此我在执教这一内容时，对教材进行适度调整与整合。

在学习小数乘法之前，先将编排在“小数乘整数”知识点后面的“小数点位置移动引起小数大小变化的规律”前移，学生有了整数乘法、积的变化规律、小数的位置变化引起的小数大小变化的规律这些知识基础，将小数乘整数和小数乘小数纳入同一体系，紧紧抓住如何确定积的小数点的位置这一关键，将未知的小数乘法问题转化为已学过的整数乘法问题，学生很轻松地归纳出两个因数一共有几位小数，积就有几位小数的规律，一节课就把原本分裂开的两个内容解决了。  

学生既掌握了算法，又懂得了算理，有效避免因计算小数加减法产生的负迁移。

3．同一知识内容不同学段的整体融通。

现行教材普遍采用“分步实现，螺旋上升”的原则编排教学内容，既有利也有弊。一方面，适当的螺旋式结构，可以很好地满足不同发展阶段学生的课程需求，符合学生思维发展的阶段性与理解水平的阶段性的现实要求，但另一方面，客观上造成了教学中过分关注一个个分散、零碎的“知识点”，很少去关注知识之间的联系和发展。

学生按照这种体系学习，他们很难明白所学的知识点在整个单元、整册教材，乃至整个教材体系中的地位和作用，这将不利于学生知识的提取和能力的提升。这就要求我们要整体、有序把握教材体系，了解每个“知识点”在整个学习系统中所处的地位和作用，把每堂课的学习目标放在整个教学体系的视野中来设定，引导学生理清教材的知识层次，重视知识之间的联系和规律，主动建构知识体系，提高课堂教学的效率和思想性，达到“既见森林，又见树木”的教学效果。

 “数的改写”这一知识的编排，苏教版第一次安排在四年级上册，将整万数、整亿数改写成以万、亿作计数单位的数，将非整万数、整亿数改写成以万、亿作计数单位的近似数。

第二次出现是在五年级上册，把较大的非整万数、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的近似数。

第三次出现是在第三学段七年级上册近似数这一节，在这一节里先学习有关乘方的知识，在此基础上引出“有效数字”，如 3.30×10⁴精确到 哪一位，有几个有效数字？

如何确保第二学段知识与第三学段知识整体融通性，在第二学段第一次数的改写学习时应增加“以十、百、千作计数单位的数的改写”，如将15687分别改写成以十、百、千、万作计数单位的数。让学生理解数的改写是将“个”的计数单位改写成其他计数单位，只要将计数单位后面一位上的数四舍五入后加上计数单位。

这样便于学生在第二次学习时理解数的改写就是去掉计数单位后面的零，也相当于将个位后面的小数点向左移动了相应的位置，而保留相应的小数位数相当于第三学段将要学习的科学计数法以及有效数字的相关内容。

例如15687改写成万作单位的数，是1.5687万，如果改写成以百作计数单位的近似数，则相当于将结果保留两位小数就是1.57万，第三学段则表示为1.5687×10⁴≈1.57×10⁴，取3个有效数字。

二、定位整体思维结构，在系统化的思维中加强学生理解

以前，我们比较多地是从教学内容的角度来确定教学思路，如导入、新授、巩固、拓展、提升，其核心是知识的掌握和技能的训练。但指向学生理解的数学学习应整体思考，把目光更多的聚焦到过程、聚焦到学生、聚焦到如何将数学思想蕴含在教学内容之中，把问题的各种要素和其他知识连接起来，多种“策略”并举解决问题，，促进学生“数学联结”能力的提高。

1．把握整体，注重培养直觉思维。

直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，直觉思维的核心是能从整体上直接抓住问题的核心，对数学现象、问题及其关系作出直接的、敏锐的判断，迅速对问题的答案作出合理的猜测、设想。数学教学要引导学生关注数学知识的整体以及知识之间的联系，有利于学生在思考数学问题时，头脑中能形成一幅整体的形象，有利于激发数学直觉思维。涉及具体的问题时，要引导学生从整体入手观察问题，发现其特征，善于简化信息与问题的距离。

例如五年级小数除法中有这样一道练习题“工厂用 2 台机器 2.5 小时生产零件 2500 个。照这样计算，用 4 台机器 5 小时生产零件多少个？”大部分学生用一般方法求解，即先用除法算出单一量，再用乘法算出总数量，但其过程较繁琐。而有几个学生却能迅速报出答数是10000个。

笔者及时抓住这个良机，让他们讲讲道理。原来他们从整体上对题目进行观察分析，机器台数是原来的2倍，工作时间也是原来的2倍，而工作效率不变，则工作总量应是原来的（2×2）倍，故是2500×（2×2）=1 万（个）。由此可见，运用已有的知识经验，经过敏锐而迅速的洞察判断，能快速把握问题的本质。

2．拓展体验，有机感悟数学思想。

数学基本思想是数学精神的核心部分，它可以在人的内心深处培植理性的种子，它可以让你拥有一颗数学的大脑，学会数学地思考，学会理性地看待问题、关注周遭、理解世界。也就是说，人的“数学智能”在很大程度上依赖于其对“数学基本思想”的掌握。数学基本思想是学生通过“再发现”的方式习得的、在数学产生和发展过程中支撑作用的思想。我们在数学教学中应该保持一种开阔的视野，引领学生在知识发生的过程中体验数学基本思想，在问题解决过程中凸显数学基本思想，在知识总结的过程中归纳数学基本思想。

例如教学苏教版四上“找规律”，即两个物体“一一间隔排列”。两个物体“一一间隔排列”有三种情形，即“两端物体相同”、“两端物体不同”和“围成封闭图形的”。也有老师把它视为“植树问题”进行教学，分为四种情形，即“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”、“围成封闭图形的”。

一般的教法都是先让学生发现一种规律，再逐步引导其发现另外一种规律，这样就像盲人摸象。其实不管怎样分类，都可以看作一个整体，都可以依托“一一对应”数学思想去思考，也就是学生所说的“一个对着一个”。当学生会用“一个对着一个”的思想解决问题时，规律本身已经不那么重要了。学生只要依据基本模式并通过适当的变化就能解决各种新的问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等。

3．关联思考，深刻体验数学策略。

运用策略解决实际问题，要有整体观念。解决问题的策略不是唯一的，解决同一问题时也不是只限于一种策略的应用，就像一个一个地独立地并且孤立地散落在海滩上的贝壳，教师要善于引领学生将贝壳串成项链。

通过循序渐进的数学教学，不断加强策略的形成，加深对策略的体验，使学生学会解决问题，深化对问题的独特理解，并由此形成解决问题的基本策略，体会解决问题策略的多样性。

例如学习鸡兔同笼问题，如：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有多少只？”可以采用列表法：

我们考虑列表的过程：鸡8只、兔0只，通过计算，脚16只；鸡7只，兔1只，脚2×7+4×1=18只。通过比较两次列表的数据，每调整一次，脚就增加2只，如果考虑能否一步到位，即每次减少一只鸡，增加一只兔，脚就增加2只，需要调整的次数为10÷2=5，即鸡要减少5只，这就是所谓的假设法，再回头看我们的列表过程，鸡的只数为□只，兔的只数为（8-□）只，脚的总数为2×□+4×（8-□），这就是所谓的方程法。从这道题解法中，折射出多种策略——列表、方程、假设、分析与综合。

参考文献：

 [1] 斯根普.小学数学教育——智性学习（修订版）【M】.香港：香港公开大学出版社，2006.

[2] 陈金飞.对智性学习内涵与价值的思考[J]．小学教学参考，2013（6）.

本文发表于《辽宁教育》，2014.5.85～87.

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