《九章算术》的主要内容及其教育价值

陈金飞

《九章算术》是“算经十书”中最重要的一种,是中国古典数学最重要的著作，还是一本综合性的历史著作，是当今世界上最简练有效的应用数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》上承先秦数学发展的源泉，入汉以后又经许多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年成书，是几代人智慧的结晶。

一、《九章算术》的主要内容

《九章算术》收有246个数学问题，全书采用问题集的形式，书中每道题都有问、有答、有术（解题的思想方法、公式、法则）。有的一题一术，有的一题多术，有的多题一术。全书分为九章,主要内容分别是：

第一章，方田，计38题，分为两类：一类是讲平面图形的面积计算。如“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“邪田或箕田”（梯形）等。这充分说明几何学是直接从测量田亩的实践中产生的。方田这一章给出了求以上“田”（图形）面积的方法。例如第25题指出计算三角形的方法。“术曰：半广以乘正从”。这里的“半广”是指“底长的一半”，“正从”是指“高”。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法加以证明，并配有生动形象的图（如图1）。另一类是分数运算法则。内容涉及约分、分数的加减法及分数大小比较，与小学数学分数教学内容密切相关。

          图1

第二章，粟米，计46题，讲谷物粮食的按比例折换。先规定好各种粮食之间的交换率，然后用“今有术”来计算。“今有术”就是比例，是从三个已知数求出第四个数的算法。例如，设从比例关系a:b=c:x求x，《九章算术》称a为“所有率”、b为“所求率”、c为“所有数”、x为“所求数”。今有术：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”，相当于x=。

第三章，衰分，计20题，以“今有术”为基础，处理各种按比例分配问题。

第四章，少广，计24题，讲面积和体积的开平方与开立方的问题。

第五章，商功，计28题，讲立体形面积计算问题和土方人工计算问题。 “商”是“商量”、“量度”的意思。《九章算术》中记载的圆柱体积的计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是底面周长的平方乘高，再除以12。这种计算方法与现在的计算公式是一致的。

第六章，均输，计28题，讲根据均输法纳税和派工的复比例、连比例等比例分配问题，是粟米章、衰分章有关比例理论及应用的发展。

第七章，盈不足，计20题，通过两次假设未知量的值，把任何算术问题转化成盈亏问题来解。以第1题为例：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？答曰：七人，物价五十三。”若每人出8，就比物价多3；若每人出7，就不足4。一般地假设人数为x，每人出钱a₁盈b₁，出钱a₂不足b₂。“盈不足术”相当于给出解法： x=（b₁+ b₂）÷（a₂－a₁）。

第八章，方程，计18题，讲多元一次方程组应用问题解法。“方”就是把一个算题用算筹列成方阵的形式。“程”是度量的总名，也有计量，考核，程式的意思。“方程”的名称，就来源于此。以“方程”章第1题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”题中“禾”为黍米，“秉”指捆，“实”指打下来的粮食。设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z（斗），则问题就相当于解一个三元一次联立方程组：

《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个（长）方阵（如图2，其中已将筹算数码换作阿拉伯数码）。这里采取的是自右至左纵向排列。“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用图2（i）右行上禾（x）的系数3“遍乘”中行各数得6，9，3，102，然后两次减去右行对应各数，得0，5，1，24。又用3遍乘左行各数得3，6，9，78，减去右行对应各数得0，4，8,39，就得到图2（ii）。其次以图2（ii）中行中禾（y）的系数5遍乘左行各数，四次减去中行对应的各数，将左行36和99两数约分，又得到图2（iii）。为求上禾（x）和中禾（y），以图2（iii）左行下禾（z）的系数4遍乘中行各数，减去左行对应的各数，中行所得20和85两数约分得4和17。再用4遍乘右行各数，减去左行各数后，再两次减去中行各数，将所得两数12和111相约得4和37，最后得到图2（iv）。由此方程计算得：上禾（x）=9，中禾（y）=4，下禾（z）=2。很清楚，《九章算术》方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法”。《九章算术》方程术，是世界数学史上的一颗明珠。

    图2

《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。“同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指两数绝对值相加、相减。刘徽对负数的出现作了很自然地解释：“今两算得失相反，要令正负以名之”，意即正负是两种“得失相反”情况的反映，并主张用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。这个记载比国外早了七八百年。

第九章，勾股，计24题，讲利用勾股解决问题，与测量和绘图有直接的联系。“以御高深广远”，主要解决勾股测望问题，涉及勾股术、勾股容圆术、勾股容方术。

二、《九章算术》的教育价值

《九章算术》作为一部世界科学名著，联系实际，题材多样，由浅入深，在古代既便于教学又适合自学深造。即使到现在，它在数学教育领域还有着极高的教育价值。

1．有利于拓展学生数学知识面。

《九章算术》算题在取材上丰富多彩，引人入胜。具体涉猎小学八个方面教学内容：图形的面积、长方体与圆柱体的体积、十进位值制、最大公因数、约分、分数四则运算法则、方程、负数。

书中很多算题只要稍加改变就可以成为比较好的教学题材，如三角形面积计算公式的推导。现行教材是引导学生运用转化的思想，将两个完全相同的三角形拼成一个等底等高的平行四边形，得出三角形面积计算公式。而适时介绍《九章算术》记载的“半广以乘正从”计算方法，则对于开拓学生数学视野，拓展学生数学思维，促进学生对公式的理解打开一片新的天地。学生受此启发，还可将三角形转化为“底一半高相等的平行四边形”和“底相等高一半的平行四边形”等。

2．有利于更好地掌握数学思想方法。

《九章算术》作为传世的数学经典著作，虽没有直接阐述其数学观，但通过其体系结构不难看出蕴含其中的数学思想方法。即通过观察—分析—归纳—概括的过程，总结出抽象的结论，对抽象理论辅以一定数量的实际问题来加深理解。比如出入相补原理是贯穿《九章算术》一条基本原理，其中蕴含化归、数形结合、构造数学模型等思想方法，利于学生创造性思维的培养。同时，对于学生从数学史的角度，找寻目前正在学习的数学知识的本源，亦有一定的借鉴与探源作用。

3．有利于培养正确的情感态度和价值观。

《九章算术》对中国数学的影响与欧几里得《几何原本》对西方数学的影响是一样的。古代数学家大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的，以至于许多大数学家都曾为它作注释，最著名的有刘徽、张苍、耿寿昌、李淳风等人。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年，由当时的北宋朝廷进行刊刻，因而也是世界上最早的印刷本数学书。

在课堂内外介绍这些算题，不仅可以促进学生对数学知识的理解，激发他们对数学的兴趣，而且能让他们感受到我国古代在数学上取得了巨大的成就，这对弘扬中华优秀传统文化，增强民族自豪感、振奋民族精神大有好处。

参考文献：

 1．梁宗巨.世界数学通史【M】.辽宁：辽宁教育出版社，2000.

2．李文林.数学史教程【M】.北京：高等教育出版社，1999.

3．李菊梅.《九章算术》的教育价值[J]．硕士学位论文，2010.

本文发表于《小学教学》，2014.05下.48～49.

3200字