关于“数学规定”的理性思考和教学实践

  季国栋 

（江苏省启东实验小学，江苏启东 226200 ） 

摘要：理性对待数学规定，根据不同的规定内容，在教学时有所区别、有所侧重，或是直接诉说，或是适切剖析，或是自主建构，或是合理借助；让学生在数学规定的学习中，建立正确的数学观，更好地理解、掌握、运用数学知识，在数学学习上取得优良发展。

关键词：数学规定；思考；教学

小学数学中有一类是主观性较强的知识，是长期以来由于某种原因而人为规定或者约定俗成的，通常被称作为“数学规定”，如规定的数学命名、数学符号、书写格式、数学法则等。数学规定的内容在小学数学知识体系中也占有一定的份额。

关于数学规定的教学争议颇多。有人认为，数学规定都有深刻的背景和理由，从学生认知水平的角度来看，不适合让学生讨论或探究，作出某种规定的原因，许多也难以对小学生说清楚，因此教学中应该采取快速通过，直接告诉学生就可以了。也有人认为，如果仅仅一味地、全盘地告诉学生这是一个“规定”，从学生持续发展的角度来看，这样的教学是远远不够的，孩子会误认为数学就是权威的、书本的，只要照做就行了，会压抑孩子的探究精神和创新意识。为此，许多教师在进行数学规定的教学时感到进退两难。本文就此试着进行厘清和阐述。

一

如何看待数学规定的教学呢？伽利略在用自制的望远镜发现月球的表面存在光斑时，人们发出疑问：这光斑是月球表面具有的还是望远镜的镜片上存在的。这样的疑问在现在的人们看来似乎十分可笑，而人类登上月球证实了人们用这类工具观看的事实。同样的道理，我们不妨“登上”数学规定和数学教学，在亲密接触之后，或许能得到更好的理解。

数学并不是一种形式严格、思想固化的另类东西。数学发展的历史业已充分表明，创建数学的基石是人的自由思想。现代数学的鼻祖康托说，数学的本质是自由。数学中的规定同样也潜蕴着丰富的自由思维，我们不应只看到它的历史规定性，更应看到其源头都闪烁着人类的自由思维。比如，正数前面写正号是因为生活中正数用得比负数多，规定正号能省略，就是追求更便捷；2月的天数少是因为在古罗马执行死刑都是在2月；厘米用字母“cm”表示是因为厘米的英文单词是centimeter，取它的缩写就是“cm”……数学规定和其它规定一样，都具有必要性、合理性和最优化。比如，为了与国际接轨，便于交流，我国才规定零是自然数；为了便于长度单位间的换算，就规定两个相邻的长度单位之间的进率都是十，与记数的进制相统一，所以1厘米=10毫米；根据合数的定义，1显然不是合数，而根据质数的定义，则可以把1看做质数，但是为了确保“一个大于1的整数，如果不管质因数的次序，那么分解质因数的结果是唯一的。”，我们规定1不是质数也不是合数。可见，数学规定本身不是冷峻的，而是温情的；不是枯燥的，而是有意趣的。

数学教学的确离不开作为科学的数学，但是如果作为科学的数学必须表述成严格的形式逻辑演绎体系的话，那么是否意味着数学的教学内容也必须是一个严密的演绎体系呢？答案是否定的。有人把数学的“严谨性”描绘成一把双刃剑，它既能砍去那些不合逻辑的错误东西，保持数学的纯洁性；同时它也会砍去数学中生动活泼的思想，窒息数学的生命。数学教学要有一个横向的透视，也要有纵向的穿透。要“前瞻后顾”，寻求数学的源与流。在教学中力求呈现数学动态统一的、有机关联的、鲜活生动的、具有探索性的和全息性知识特征的科学与文化形象，而不是固定不变的、僵化教条的、片断局部的、彼此分割的知识条块和记忆库。^[1]而且，小学数学并不是纯粹的科学数学，是具有现实数学、经验数学和生活数学的性质，板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。那么，小学数学教学应根据学科特点和学生实际，既要关注学生的思维，也要兼顾学习的趣意。

对于学生来说，他们是怎样看待学习数学规定的呢？法国作家司汤达有过这样的经历和感触。当时学堂中流行的顺口溜：负负得正，正负得负；无需证明，只管记住。于是，在他的笔下，就有既清晰明白而又令人同情的描绘：当我发现没有人能解释负负得正的原因时，你能想象我的感受吗？对我来说，这个没有解释的难题真是够糟的了（它既然能导致正确的结果，无疑地也应该可以解释）。而更糟的是，有人用那些显然对自己都不清楚的理由来对我讲解。司汤达在面对用债务来解释负数时，以幽默的笔调写道：“一个人该怎么把10000法郎的债与500法郎的债乘在一起，好得到五百万法郎的收入呢？”

小司汤达及其伙伴的处境正如斯坦因所说：数学怎么会教得最坏呢？因为它可以作为一套毫无兴趣或用处的数的计算程序来介绍。随着每一页新的练习，孩子们越来越对它疏远起来。最后，当孩子们听到一种神谕似的宣告，“为了除以一个分数，你要上下颠倒而后相乘”，或者“负数乘负数得正数”的时候，这种疏远就达到了极端。^[2]

从作家司汤达身上，我们可以明确感受到：一是数学规定需要解释，学生有这份期待；二是数学规定的解释需要有理有据，并且要让学生能够接受。

因此，面对数学规定，我们需要理性对待，不能仅仅关注数学规定的表面，更重要的是要显露出数学规定背后隐含的智慧。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，要让学生感受“规定”的合理性，并在这个过程中学会数学思考，感悟理性精神。张奠宙先生也认为，对于数学规定虽然不需要证明，只要遵守，但我们可以谈“规定”的合理性。我们完全可以料想到，当孩子问一个数学的规定为什么是这样，如果一个教师能作出生动的、可以让孩子接受的解释，那么，数学在孩子的心中就是可以亲近的。

二

作为一个高素养的数学教师要从数学本体性知识中完善自己的知识结构，了解数学规定的来龙去脉，明了数学规定的缘由，在数学家与教育家之间寻找中间地带，在教材不便说或没有说清楚的地方寻找路径，根据不同的数学规定、不同的学生状况，有所选择，有所侧重，智慧教学。

（一）直接诉说，体现数学的温情之意

数学中的许多符号、命名、读写法等这类规定不需要让学生进行探究和猜想，可以先入为主，教师用形象生动的语言直接进行解释，化抽象为具体，帮助学生更好地认识数学中的规定，明确数学不是枯燥无味的，而是生动活泼的。

比如运算符号的规定：加号是在一横上加上一竖，显示“合并”、“添上”、“增加”的意思；减号是从加号里拿走一竖，表示“去掉”、“减少”的意思；乘号是和加号有关系的，将加号转动45°成“×”，表示特殊的加即同数连加；除号先写中间一横表示平均分，上面、下面各一点，表示每份同样多。^[3]或许，这些规定的解释用历史的真实来考察，可能并非符号原创者最初的想法，与符号演变史实也有些许出入，但却是基本符合符号本意的教学艺术加工，可以让孩子们感受到数学不仅理性，而且充满着温情和趣意。

再如，大家熟知的“用字母表示数”中，关于字母和字母相乘、字母和数相乘的规定，就应该直截了当地揭示给学生，或者让学生自行阅读教材，或者利用童话故事向学生诉述，也不需要进行研究和猜想。不然，教学将只是热闹过场，毫无价值。有位教师在教学分数各部分名称时，是这样处理的：先引导学生观察2/3这个分数，感觉像是一家人，然后请学生猜一猜分数2/3各部分名称。学生说“3”是分数爸爸，“2”是分数妈妈，“—”是分数宝宝。教师提示“3”叫做分母，“2”应该叫什么呢？有的学生说是分父，有的学生说是分女。教师继续引导“2”如果是男孩，那“2”可以叫什么？学生说“2”可以叫做分子。这时候教师才如释重负，露出满意的笑容。

显然，课中猜想分数各部分的名称是败笔。猜想是指人对客观规律认识的一个前奏，而分数各部分的名称只是人为的规定，并非客观存在的规律。把这类规定性的内容强拉硬拽地进行猜想和探讨，不但毫无思维价值，浪费宝贵的教学时间，有时还会适得其反，给教学带来负面影响。

（二）适切剖析，体现数学的求简原则

数学课程的一个重要目的，是使学生通过数学学习，形成一定的数学思想和数学意识。数学规定的学习往往可以起到促进作用。数学规定的背后往往蕴涵着深刻的道理，而有些规定是可以通过适切的剖析，将蕴涵的道理呈现出来，让学生从中体会到一定的数学思想或者数学意识。比如，“求简”原则便是其中显著体现的数学意识之一。

1.书写格式中体现求简

竖式计算的书写格式是一种形式上的规定，它的确定是根据计算的实际需要，依靠相应的运算法则，即完成运算、得出结果的方法、程序或途径，实质上也就是运算方法与程序的规定。运算法则的理论依据是“计数的位值原则”，只有相同计数单位上的数字才能直接相加减。^[4]因此，许多竖式计算的书写格式都规定为相同数位对齐，学生对此是完全可以理解的；而在小数乘法中却规定为末位对齐，学生在不明白道理的情况下，难免会产生困惑：数学的规定可真多，而且一时一个模样。

首都师范大学的王尚志教授说，数学要讲逻辑推理，更要讲道理。对数学规定的教学也就可以这样理解：即要呈现为什么要有这个规定，如果没有这个规定会发生什么。不满足于仅仅让学生知道是什么，还要深入地理解为什么会这样规定。

我们不妨以小数乘小数2.14×1.2为例，通过两种书写格式的比较，来理解这种末位对齐书写格式规定的合理性。

根据算理，2个0.1与4个0.01相乘，得到8个0.001，8写在千分位上，2个0.1与1个0.1相乘，得到2个0.01，2写在百分位上，2个0.1与2个1相乘，得到4个0.1，4写在十分位上；再把1分别与4个0.01、1个0.1、2个1相乘，得数分别写在对应的数位上，最后相加得到2.568（见图1）。

如果书写格式是末位对齐，利用小数的基本性质，是可以很快算出2.14×1.2=2.568（图略）。

我们可以发现相同数位对齐和利用小数的基本性质末位对齐都是可以完成计算的，但是两种书写格式相比，末位对齐最整齐、最方便、最简洁，因此小数乘法末位对齐就成了一种约定俗成。知其然并且知其所以然，经历了上面的过程，小数乘法末位对齐的书写格式，就不仅仅是一种人为规定，更多的是一种理性思考。小数乘整数和小数乘小数的书写格式规定的道理是一样的，不管从高位乘起还是从低位开始乘，不管是相同数位对齐还是末位对齐，都是可以完成计算的。但是，之所以有这样的格式规定都是为了——求简。

2.运算顺序中体现求简

我们教师几乎都把运算顺序看作一种纯粹的规定，一种长期实践中的约定俗成，都是简单地告知学生“乘法和加减混合先算乘法”，至于为什么要先算乘法而不先算加减并没有给予更多的关注。

运算顺序的确是一种人为的规定，但是，这种规定并非依据生活同类实际问题的多少，更不是数学家们的主观意向，而是根据数学运算本身的特点而确定的，它产生于人们解决问题时的一种“求简”的本能，是人们追求简便、快捷的本能在计算活动中的具体反映。教学混合运算时，可以提供浅显而不复杂的材料，将运算顺序的规定容纳进来，充分体现数学的求简原则。

大家比较熟知的蔡宏圣老师执教的“混合运算”，为我们一线教师教学混合运算之类的计算课开拓了一个新的思路。提供如下两个材料：

材料一：步行→自行车→汽车→火车→飞机。提问：从上海到北京旅游，你打算借助哪种交通工具？

材料二：数数→加减→乘除。提问：用数数的方法也可以解决运算的问题，比如5×3，可以5个5个地数，数3次也能得出结果是15，我们为什么还要用加减和乘除呢？

上述这些情景都体现了高级的便捷替代低级的麻烦，它们的道理十分明白，学生完全能够自然地接受，由此引入乘法和加减法的混合运算。

对于“1+5×3”要先算“5×3”，是因为“1+5+5+5”中的“5+5+5”是几个相同加数相加，可以用简便的乘法计算，“5+5+5”作为一个整体先算“5×3”；对于“20-3×4”也是同样如此，“20-3-3-3-3”也就是“20-（3+3+3+3）”，所以也得先算“3×4”。由此可见，基于计算的简便，人们才规定算式中有乘法和加、减法时，应先算乘法，学生由此明白了运算顺序的规定是有其深层意图的，它是不断地用高级、简洁的方法代替低级、繁琐的方法的过程。

不管是运算顺序的规定还是书写格式的规定，都体现了数学的求简原则。虽然这点不能自如地直接走进课堂，但通过彼此的比较、提供适切的材料，来剖析理解数学规定，数学的求简原则是可以呈现给学生的。这样的课堂，让学生既能很好明白规定的原因，也能牢固掌握所学习的相关知识，拓宽了教学空间而未超越学生的思维域限。

（三）自主建构，体现数学的发展过程

数学规定的形成和发展不是一蹴而就，也不是一成不变的。甚至很多数学规定从产生到被普遍认可也不是一朝一夕就能完成的，都有一个曲折而漫长的过程。由印度人创造发明，阿拉伯人传承推广的“印度——阿拉伯数字”，用一组包括零在内的十个符号，就可以表示一切自然数，这是数学史上无与伦比的光辉成就。然而，这一成为我们司空见惯的符号，但其推广普及仅在欧洲就耗费了数百年之久。^[5]

数学教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的“再创造”的过程。对于数学中的规定，我们必须从数学知识发生发展的视角加以审视，必须从直接经验对学生学习的积极作用加以考虑。因此，如果属于儿童能够自主建构的数学规定，我们就进行“再创造”方式的学习，让学生体验数学规定形成与发展的过程，亲身经历“重蹈人类思维发展中的那些关键性步子”，感受并体会数学规定的产生是自然的，从而更好地了解数学规定在数学内部需要与和谐发展中形成的思想背景与承担的功能，达到对规定更深刻、更精确、更厚实的理解和把握。

用“数对”确定位置便是一个很好的例子。可以呈现学生熟悉的生活场景——动车组站台上用数表示对应节次车厢停靠位置，学生感受到用数确定位置既准确又简洁。于是，让学生带着“准确、简洁”的标准一路前行，自主建构数学规定。可以先建构一维上的规定。利用公交车站点的站牌， 让学生通过观察、思考、交流，引出确定位置的要素：起点、方向、顺序，并在站牌上自主创造出数学形式的规定（见图2）——类似数轴形态特征的横向“整标数线”，从而学生可以直观理解“一条线上的位置可以用单个数来确定”。 然后，再建构二维上的规定。学生在座位图边缘画出与列数对应的横向“整标数线”和与行数对应的纵向“整标数线”，构成了类似直角坐标系形态特征的“直角整标数架”（见图3）。由于观察角度和书写方式的不同，由5和4两个数得到不同的表示形式，产生歧义、引起争论，从而 学生很自然地再次进行自主建构并完整数学规定：把表示第几列的数写在前面（从左往右数），把表示第几行的数写在后面（从前往后数），中间用逗号隔开，再用表示整体的小括号将这两个数括起来。最后，可以利用学生熟悉并喜欢的魔方为例，让学生试着确定魔方中任意一块的位置，从而诱发思维、开启智慧，延伸至自主建构三维上的规定，用三个数来确定位置。

在探寻课题学科背景、分析知识内含价值基础上，从数学知识形成和学科思想渗透的高度下，促使学生自主建构数学规定的过程，是数学教学中不可或缺的有机组成部分，是师生共同开发教材与经历成长的动态过程，是师生共同理解、感受、体验、欣赏数学的重要途径。这种经历数学规定“再创造”过程而获得的知识是那么的鲜活和牢固，因为这是学生自我建构所得，而且在这个过程中，学生不仅体会到以“点（位置）与数（数对、数组）对应”为内核的坐标思想，而且还能感受到数学原来并不高深莫测，并不来自权威和书本，也是可以自己创造的，体会到数学中出神入化般的创造性思想活动。

（四）合理借助，体现数学的整体联系

数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学的整体性。^[6]在数学规定的教学中，如果能找到一个与儿童贴近的载体，利用合适的形式，引发儿童的趣意，不仅可以让学生明白这样规定是有道理的，而且借助数学规定的学习，还能打通数学知识间的联系，体现出数学的整体性。这是教学相对理想的期冀。

长度单位“米”严格定义后，它的倍数单位十米、百米、千米和分数单位分米、厘米、毫米等都是按十进制原则规定的。因此，在“毫米和分米”的教学中，我们可以借助“台阶”来渗透“十进制”的规定，“台阶”图形往往可以在学生心理上建立知识的意象表征，从而有利于学生对知识的回忆、理解乃至贯通。

数学规定的内容与生活中相似事物一定存在着必然联系，可以在“规定”之前创设一定的情境做铺垫，让学生不知不觉中感受“规定”的到来，而不是强加。比如，提供词串“小学，幼儿园，中学”和“长叶，生根，发芽”，让学生合理地摆在台阶上（见图4）；学生从中可以感受到生活中的事物通过一段时间的积累，就会到达更高的新的台阶。

    类比推理是根据不同对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其它方面也可能或相似的思维形式，是思维进程中由特殊到特殊的推理。在学生认识1毫米、知道1厘米等于10毫米之后，将毫米和厘米之间的关系，放到台阶上。1毫米1毫米地加长，加到10毫米就到了一个更高的台阶，产生新的单位，那就是厘米。然后，引导学生回顾认数的时候，数满10个一就是1个十，数满10个十就是1个百。再由计数单位推及长度单位，合情推理出达到10厘米的时候也应该有一个新的长度单位，那就是分米（见图5）。接着，在学生认识分米、知道米和分米的关系之后，将长度单位“米”也摆放在台阶上，再由长度单位推及计数单位，10个百就是1个千。这样一来一往，将长度单位和计数单位进行类比，融通了计数单位和长度单位都有“十进制”关系，让学生深刻体验数学知识间的联系。设计台阶时，需要使每个台阶和往上相应的一段颜色相同，表示相同单位，而不同台阶的颜色各异，以此来区分不同的单位。

    结构化——它让混沌变得清澈。为了认识表示长度、面积、体积、温度、重量、明暗等长短、大小、冷暖、程度的量，我们用结构化的思想，引入了不同单位，发明了不同的度量工具，让我们的世界变得更明朗。^[7]最后，为了契合规定，突显结构，可以在完整长度单位和计数单位两个台阶之后，将两个台阶合二为一（见图6），充分体现数学知识的整体关联，让学生留有深刻影响，或许将伴随其一生。

“毫米和分米”的教学中，利用台阶，将数学规定的合理性通过儿童能够理解的方式和载体，直观化，明晰化，趣味化。这样不仅让学生学得趣意盎然，明了长度单位之间的关系，帮助学生更好地学习，而且还融通数学内部联系，体现了数学知识的整体性。

数学教学应当明理，也就是不仅要“知其然”，还要“知其所以然”。数学规定的“所以然”往往具有历史性、贯通性、综合性和人文性，是前人的智慧结晶，是可以让学生亲近的。在数学规定的教学中，我们应当理性对待，处理好“科学数学”和“学科数学”的关系，辩证看待“有价值”和“无价值”；我们应当重视数学规定的“所以然”的研究，智慧教学，让数学规定根植于学生的心田，使其应用源自于学生内在的心智。

参考文献：

[1]黄秦安，曹一鸣.数学教育原理——哲学、文化与社会的视角[M].北京:北京师范大学出版社，2010：67.

[2][5]郭龙先.代数学思想史的文化解读[M].上海:上海三联书店，2011：151,101.

[3]曹培英.“数学课程标准”核心词的实践解读之二[J].小学数学教师，2013,(1，2)：28.

[4]孙国春.小学数学理论透视[M].苏州:苏州大学出版社，2012：22.

[6]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京: 北京师范大学出版社，2012：45.

[7]钟建林，林武.小学数学专题式教学导引[M].福州:福建人民出版社，2012：22.

本文发表于《课程·教材·教法》2014年第5期