“整数的认识”中数学多元表征与教学建议――以苏教版、人教版教材为例
启东乡村骨干教师培育站 徐佳颖
【摘要】“整数的认识”是学生学习数学的起点和基础，对学生以后学习分数、小数、百分数以及进行数学运算有着前提性的影响作用。数学多元表征是指同一数学对象具有至少两种或两种以上本质不同的表征形式。通过把苏教版、人教版中“整数的认识”中数学多元表征出现的时间、频率和方式等方面进行比较，尝试分析如何更好地结合数学多元表征进行整数的认识教学。
【关键词】整数的认识；多元表征；教学建议
我国数学家华罗庚曾说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。形数结合百般好，隔离分家万事非” 【1】华罗庚的这句话深刻地揭示了“数”与“形”表征之间的密不可分的联系。在实际教学中，众多教师已经发现了“数形结合”能有效地解决一些数学问题，其实数形结合只是多元表征关联和转换的一种形式。数学多元表征是指同一数学对象具有至少两种或两种以上本质不同的表征形式。【2】包含两层含义：一是不同的表征形式包括叙述性表征（言语化表征）和描绘性表征（视觉化表征）；二是在表现同一数学对象时应该至少用到两种方法。所谓描绘性表征（视觉化表征），是指用模型、图形、图像来表示一个数学对象。在小学学习中用描绘性表征来解决问题是非常常见的。例如，在苏教版三上的教材中《分数的初步认识》中比较几个几分之一的分数的大小：
图1：几分之一比较大小的圆形图和直线图
在上面两幅图中都是比较二分之一、四分之一和八分之一的大小，这两种表征方式都是图形表征，都是用来帮助学生理解：“一个图形，无论是圆还是直线条，被平均分的份数越多，其中的每一份表示的分数就越小”这个信息的。叙述性表征是指用符号来表示被表征对象。很明显，叙述性表征的概括性和抽象性更强。叙述性表征比较适合推理，用于传递一些抽象经验和信息。口语、书面语、数学符号都属于叙述性表征。
一、两种教材版本下的“整数的认识”中的数学多元表征比较
教材是教学活动的凭借，是课程标准的表现。由于我们国家地域辽阔，各个地方的政治、经济、文化情况不同，所以我国基础教育出现了“一纲多本”的格局。依据《全日制义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）》编写的小学数学教材一共有6种版本，其中由人民教育出版社出版的小学数学实验教材（以下简称人教版）在全国地区内使用广泛，而笔者是江苏地区的教师，所以本研究将结合江苏教育出版社出版的小学数学实验教材（简称苏教版）以及人教版的小学数学教材谈谈数学多元表征在“整数的认识”中的体现。
（一）苏教版、人教版教材中的数学多元表征形式
1.苏教版“整数的认识”中的数学多元表征，如表1：
表1：苏教版“整数的认识”中的数学多元表征
由表1我们可以看出苏教版“整数的认识”分为一年级上、一年级下、二年级下和四年级下进行学习。在苏教版“整数的认识”中出现了以下几种数学多元表征：生活情境、点子图、小棒、直尺、计数器、数轴、小方块、算盘、数位顺序表等。
人教版“整数的认识”中的数学多元表征，如表2：
表2：人教版“整数的认识”中的数学多元表征由表2我们可以看出人教版“整数的认识”分为一年级上、一年级下、二年级下和四年级上来进行学习。在人教版“整数的认识”中出现了以下几种数学多元表征：生活情境、点子图、小棒、直尺、计数器、数轴、小方块、算盘、数位顺序表等。
比较苏教版和人教版“整数的认识”中出现的数学多元表征，我们可以看出两个版本的教材中出现的数学多元表征形式种类差不多，但是也看得出人教版中出现的数学多元表征更显丰富。这种丰富性体现在：一是人教版中出现的表征形式更为多样，比如在二年级下认识千以内的数的时候出现了结合点子图的数轴，还出现了用方格纸来图出千以内的数；二是在认数的某一个阶段中，人教版中出现的数学多元表征的种类的数量多于苏教版教材中的数量。
（二）苏教版、人教版教材中表征呈现的频率
比较不同数学多元表征在不同版本教材中出现的频率可以看出不同教材编排的侧重点，如表3：
表3：不同数学表征呈现的频率从表3我们看出两个版本教材呈现的数学多元表征中我们可以观察出两点：第一，人教版中点子图和小方块出现的次数明显要多于苏教版；第二，苏教版中算盘和数轴出现的数量明显要多于人教版中出现的次数。
（三）苏教版、人教版教材中的表征呈现的时间和方式
相同的数学多元表征出现的时间、方式不同带来的教学效果也会不一样，接下来将探讨不同数学表征不同呈现的时间和方式带来的不同的教学效果。
1.生活情境
一年级学生的思维处于形象思维阶段，他们认数的起点要从生活中的素材中来。苏教版教材和人教版教材在安排认识10以内的数的时候都选取了生活中的场景。苏教版教材是选取了公园的某一场景，人教版是选取了校园一景。
2.点子图
苏教版小学数学教材在一年级上教学第一课数一数的时候选取了公园的一景，通过让学生数一数，把物抽象成点，1个点就表示一个物体，有几个物体就画几个点，体现出物与点的一一对应关系，这里点子图是作为正式的例题出现的。人教版小学数学教材第一次出现点子图是在第一单元准备课之后的练习课中作为练习题出现的，是把物体的数量与对应的点子数量相连，也是体现物 点的一一对应的关系。
人教版教材在认识千以内的数组成的时候作为例题出现了点子图，教材让学生数一数例题中有多少个圆点，通过一十一十地数，一百一百地数，数出235个圆点,在数圆点的过程中培养学生的数感，知道一百是多少，为学生以后感受更大的数作铺垫。
3.小棒
苏教版小学数学教材第一次出现小棒是在教完数字10以后的练习题中，教材让学生动手操作数出10根小棒，捆成一捆。人教版小学数学教材第一次出现小棒是在认识10以内的数在例题中出现的，通过摆放小棒，把小棒摆成三角形、正方形和五边形。
在认识11—20各数一课中，苏教版教材和人教版教材都选取了小棒作为教学载体，其实这里的小棒承载着一个更重要的教学任务，就是要让学生知道：“小棒满了10根就要捆成一捆，10个一是1个十”，学生初次知道“满十进一”这个计数原理。同时，小棒对学生认识数的组成也有很好的直观示范作用。
4.计数器
苏教版教材中第一次出现计数器（无数位）是在认识10以内的数的练习题中，这里是体现珠和数的对应关系。人教版教材中第一次出现计数器（无数位）是在认识10以内的数的例题中。
有数位的计数器作为正式的教学内容出现在认识11-20各数。计数器在表征数的概念时有着不可替代的作用。用一捆小棒来表示1个十的时候，这里的“捆”是具体的、是量化的10根，而计数器十位上的1颗珠子，这里的“1”不是具体的“10”，是抽象的“10”，是由位值决定的“10”。
5.算盘
在苏教版和人教版教材中算盘作为正式教学内容是在认识千以内的数中。不同的是苏教版在万以内的数的认识中算盘是跟随例题出现的，人教版在教学万以内的数时还是出示了小方块和计数器，而算盘是在练习课中出现的。
6.数位顺序表
苏教版教材和人教版教材第一次出示数位顺序表（到万位）是在认识万以内的数中。数位顺序表是学生在学完多位数时从计数器上抽象出来的更为直观简洁的示数的工具。
虽然两版教材都是在学习亿以内的数之后出示数位顺序表，但不同的是苏教版教材数位顺序表出示到千万位，而人教版教材数位顺序表出示到亿位。
7.小方块
人教版和苏教版教材中第一次出现小方块是在认识100以内的数的练习题中。正式作为教学内容例题出现是在认识千以内的数中。
在认识万以内的数中，苏教版和人教版教材也都选取了小方块作为教学内容，就是在编排上顺序不太一样。人教版教材是先出示小方块再出示计数器的；而苏教版教材是先出示算盘，小方块在后面出示的。
8.数轴
苏教版教材第一次出示数轴是在教完0-5的大小比较之后的练习课中，人教版教材第一次出示数轴是在教完10的分与合的练习课中。数轴上的数比直尺上的数更为抽象，人教版教材在认识数轴之前让学生感受了数在直尺上的排列顺序。苏教版教材在大数的比较中多次运用数轴比较几个大数大小和近似数的改写；人教版教材在大数那部分几乎就不涉及数轴了。
综上所述，我们可以看到在小学阶段整数的认识中运用了多种数学多元表征来进行教学。教师在平时的教学活动中运用数学多元表征时应注意“循序渐进”和“得时不怠”原则。
二、基于多元表征的“整数的认识”教学建议
1.小棒的运用
在教学11-20各数的认识一课中，学生第一次接触十进制原理。可以先简单地还原下十进制产生的背景，学生在数大于10的数时发现一双手已经不方便数数了，进而产生了引入十进制的需要。“10个一是1个十” 是一个比较抽象的原理，但是借助小棒的话就比较具象了，学生也比较容易理解。学生在数十几的数时，也可以先通过一捆小棒和几根小棒来表示。
2.计数器的运用
“计数器”这种表征形式相对于“小棒”来说有着更特殊的表征特点：第一，计数器的表征方式比小棒的表征方式更为抽象；第二，计数器对位值制、数级、多位数读写、竖式计算有着比较好的模型作用和价值，也就是对位值制、十进制的表征抽象程度更高。
随着100以内的数的认识，用小棒来表示数可能也已经没那么直观方便了，这时候就需要引入计数器的教学。随着一百的学习，学生就能在计数器上有顺序地认识个位、十位和百位。计数器在教材中更多地出现在多位数的读写当中，教师在教学多位数的组成、读写中应该充分利用计数器这个数学表征。
3.小方块的运用
随着千以内的数的认识，学生认识的数越来越大，这时候除了要学习数的读写之外，还要培养学生对大数的数感。这一节课是一个在整数的内容领域比较经典的教学内容。一方面，千位是第一级（个级）的最后一个数位，这样学生掌握了千以内的数的计数单位、数位顺序，以及相邻计数单位之间的进率；另外一方面，这也是为四年级认识多位数打下基础。小方块对个、十、百、千这样的计数单位直观性很强，在用小方块表征个、十、百、千的过程中，学生对相邻数位之间的关系有了更为感性的认识。
在教学千以内的数一课时可以出示一堆几百多块的小方块，然后让学生数出有多少块小方块，这时候学生就有了有顺序地数出小方块数量的需要，在数小方块的过程中学生可以重新认识到“1块小方块是1个一，一排小方块是1个十，一板小方块是一个百”，而在认识了一千以后，可以用一整个方块来表示一个千。用小方块来教学千以内的数时能让学生对数有一个点、线、面到体的完整的认识。
4.算盘的运用
在计数器上认数虽然也比较直观，但在算盘上拨珠认数效果更好。算盘上的数珠分为上珠和下珠，一颗上珠表示5，一颗下珠表示1。当在计数器上数的珠越来越多的时候，学生感到在计数器上数珠很繁琐，而算盘上一颗上珠表示5，省去了数珠的不便。算盘最大的特点是：“档位清楚，示数直观”，学生通过动手拨珠，建立“物——珠——数”的对应关系。
到了大数的认识以后，数的抽象程度越来越高。这时候除了要通过小方块和点子图来培养学生的数感之外，还要用算盘来表示大数。算盘作为我国古代祖先发明创造的一种计算工具，算盘还可以承担一定的运算任务。
5.数轴的运用
数轴作为数的一种表征形式也有着它独特的作用和意义。首先，数轴上的数可以让学生认识到数的的排列是有一定方向的，形成对数序的浅显的感性认识。随着学生认识更大的整数、分数、小数、负数等，使学生可以认识到所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，这样就形成了数与数轴上的点的一一对应关系。
其次，数轴使数的大小比较更加直接。数轴上从左往右各个点表示的数，形成了由小到大的数列。在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大。而且“少一些”、“多得多”这些数的感知和估计也能被学生给直观地感受到，低年级学生可以先从身边的直尺出发一步步认识数轴。数轴的学习应该贯穿整个小学阶段整数的认识。