从“隐性”到“显性”：小学数学思维可视化策略探析

启东小学数学乡村骨干教师培育站 卫佳男

【摘要】小学数学核心素养的本质在于数学思维的培养和提升。数学思维可以借助语言、表象或动作进行外显，进而实现对客观事物概括和间接的认识。在小学数学教学中，教师要善于调动学生的多重感观，让学生在动手操作、语言表达、图形表征中提高思维能力，教师也要根据学生的反馈及时调整完善自己的教学内容，从而更好地优化学生数学思维方式，培养学生的数学思维品质。

【关键词】思维能力  动手操作  语言表达  画图

小学数学是数学教育的基础，学生通过学习能够发展数学思维，提高思维水平，提升数学素养，形成良好的思维品质。然而数学学习相对较难，每个学生都是独立的个体，他们的思维过程又看不见，教师如何做到让学生掌握基础知识的同时更好地培养他们的数学思维能力，促进思维发展？

一、“动”中生慧：让智慧在孩子指尖上跳跃

心理学家皮亚杰认为：活动是认识的基础，智慧从动作开始。儿童的智慧往往产生在指尖上，所以教师应有效地开展数学活动，让学生在操作中感受、体验知识的形成过程，同时教师可以清楚了解学生的思维现状，以此对自己教学作出反思与调整，更好地培养、发展学生的数学思维。

1.在认知的生长处感悟积累

小学数学知识是相互联系的，教师需了解小学数学知识总体结构，理清各部分知识间的联系，这样才能让学生在旧知的基础上对新知进行理解深化，不断建构新的知识体系。

教学苏教版教材一年级下册“认识图形（二）”一课，安排学生在钉子板上“围一围”一是能让学生加强图形的表象，二是能激发学生创造图形的兴趣，三是为二年级学习多边形作准备。这是学生第一次接触钉子板，教师应事先提醒好学生在用橡皮筋围图形的时候，不能就往上一放，而是应该拉紧皮筋。在钉子板上围图形，基本过程是：①根据要求提取记忆中有关图形的表象（动脑想一想要围一个什么样的图形）②动手围一围（把脑中的形状表达出来）③验证做出的图形（观察围成的图形是否符合要求）④确认或修改图形（图形符合要求就确认，若不符合就进行修改或重做）。学生在动手操作的时候，根据记忆中图形的表象来判断所围图形正确与否，不正确再通过数格子、数钉子来修改。经过不断“尝试——验证——修正”，不仅能使学生在操作中逐步感悟知识、建构知识体系，同时又能让学生有序思考、提高思维水平。

在围出长方形、正方形和三角形后，教师抛出一个问题：“能在钉子板上围出一个圆吗？”一开始很多学生点头尝试，尝试过后才发现，在钉子板上无论怎么移动橡皮筋，围出的线都是直的，而圆是曲线的。若仅靠想象，一年级的学生是无法正确判断在钉子板上能不能围成一个圆，只有自己实践检验过了，才能在脑中形成正确的认知。心理学家研究表明，儿童的理解来自他们作用物体的活动。这样具体、有序的操作活动可将无形的、抽象的思考具体化，思考过程可视化。[[i]]

2.在智慧的发展处提炼总结

心理学家罗杰斯认为学生要有意义学习，要让学生完整地投入到学习活动中去，不只是“颈部以上发生的学习”。教师应该精心设计好数学活动环节，让学生在自由、开放的学习环境中，发展智慧、寻找规律、探寻方法、归纳总结。

苏教版二年级上册“认识多边形”一课中，教师在学生认识多边形图形基础上，让学生在钉子板上围出四边形、五边形和六边形。学生虽然有在钉子板上围图形的经验，也知道它们分别有4条边、5条边、6条边，但由于一般的四边形、五边形和六边形的形状各不相同，学生的头脑里并没有形成这些多边形的表象，他们在钉子板上围多边形时会缺乏表象的支撑。教师可以先示范在钉子板上围一个四边形，然后通过移动四边形边上或角上橡皮筋的位置，把学生的思维聚焦到四边形边上和角上的钉子中去，从而发现变动四边形一条边上（除端点外）橡皮筋的位置，图形的边数会发生改变。有了这样的发现，学生在钉子板上围多边形已是轻而易举之事了。

随后一课时“认识平行四边形”中要求学生在钉子板上围出平行四边形，虽然都是四边形，但围平行四边形的难度大大加深，大多数学生可能要一边围，一边进行验证，要及时把围出的图形与头脑中的平行四边形表象比对，若形状不一致，则围出的图形不是平行四边形，需要进行修改，修改它与平行四边形不一致的地方。其实有了围长方形和多边形的经验，他们在围平行四边形的过程中能够根据平行四边形边的特征，通过数边上格子或钉子个数快速调整、修改图形，在这一操作过程中，学生头脑里的平行四边形表象得到了大大的加强，教师也能通过学生的操作了解他们的思维现状，从而作出相应的判断与指导。教师在教学中要注意解放学生的双手，让学生运用已有知识与技能去操作、探究、回顾、发现、总结，以此凸显思维过程，提高思维水平，提升思维素养。

3．在思维的发散处深化提升 

在传统教学模式中，教师和学生只关注答案而忽略思维的过程。现今学习观念的转变，关注的重点不只是知识本身，而是学习知识的过程。新课程提倡开放式教学，给学生更多的思维空间，让学生带着所积累的经验和方法，继续研究新的问题，不断提高学生发散思维的能力，提升数学思维的品质。

苏教版五年级上册“钉子板上的多边形”一课，通过之前的学习经验，学生知道在钉子板上用线围图形，围成的平面图形一定是多边形，顶点一定是钉子板上的钉子。 教师在学生已有知识的基础上，引领学生先从内部有1枚钉子的多边形开始探索研究，学生很快能发现：内部钉子为1时，多边形面积＝边上钉子数÷2，教师再带领学生举更多例子来验证这一规律是否正确。在验证时能使不同层次的学生有机会、有效地参与到数学探究思考中，同时也能凸显学生思维的广阔性，彰显数学探究的严谨性。

在探究多边形内部钉子为2、3、4时，教师可以放手让学生去自主观察、交流研究，这样由扶到放的策略，让学生在学习中会越来越有兴趣、越来越有思考；让学生在学习中体验探索规律的过程，感悟数学思想方法，获得思维的启迪。

    二、“言”中显智：让智慧在孩子言语中传递

在学习数学知识过程中，思维是影响学习效果的重要因素，而语言又是思维的外在表现。在数学教学过程中，教师应把话语权交给学生，尽可能给学生创造更多表达的时间和空间，师生交流、生生交流的互动方式不仅能培养学生的语言交流能力，又能展示学生内在的思维过程。

1.借助完整表述发展表达能力

语言是思维的外壳，我们可以通过语言将思维展现出来。但是在低年级课堂中，存在很多回答问题表述不完整的现象，学生往往知道怎么去做，但不知道如何去说，不懂如何把自己的所思所想正确无误地表达出来，有的学生只会用一些词组；有些学生说了一大段但还是没说到关键点；还有些学生就说了一半，要么说了原因结果没说，要么只说结果不说原因。这样的情况往往让教师不能准确判断学生是否真正掌握，也让班内其他同学不知所云，影响学习效率。

所以教师在教学中应注重培养学生的表达能力：①让学生在生活中养成先想后说的习惯②让学生在课堂中注意倾听同学的发言，能完整复述并回答别人的问题③注意引导学生有顺序、有条理地表述。如教师可以训练他们正确使用单位名称：几个人、几张纸、几朵花等等；在解决问题中，训练学生“说题”的能力：找出题目中的条件与问题，用三句话表述出来；训练学生用数学语言叙述计算过程：口算25＋38时，先算25＋30＝55，再算55＋8＝63。通过这样的反复训练，让学生利用语言准确明朗地表达出自己的想法，提高自己的表达能力，教师也能借此对学生的思维过程进行指导，优化学生的数学思维发展路径，提升数学思维品质。[[ii]]

2.通过思路整理掌握分析方法

一堂高效率的数学课，除了需要学生完整表述出对知识的理解，还要求学生能够用简约的语言把事物间的逻辑关系有条理地表达出来。如在教学苏教版三年级下册“解决问题的策略（从问题出发）”应用题中，已知小明和爸爸带300元去购买运动服和每个商品的价钱，求买一套运动服和一双运动鞋，最多剩下多少元？

教师先让学生说一说是如何理解最多剩下多少元？怎样做才能使剩下的钱尽可能多？然后训练学生用数学语言说出解题思路：剩下的钱＝带来的钱－用去的钱，而用去的钱是未知的，所以要求剩下的钱应先算出用去的钱；而且要使剩下的钱尽可能多，就要选择价格最低的运动服与运动鞋，所以选择一套130元的运动服和一双85元的运动鞋。

一般在解决问题时，教师要学生说出解题思路，说说先算什么，再算什么，通过学生的表达，教师可以直接了解学生审题和理题意的能力，便于教师根据学生反馈调节自己教学；学生通过日常的练习可以掌握解题方法，提高分析与解题的能力，并运用所学知识和数学思想解决生活中的问题，从而丰富生活经验。

3.善于归纳总结培养思维品质

学生在数学解题中不仅要观察分析，还应该在解题后归纳总结出普遍方法，由特殊到一般的解题方法的总结过程其实是思维体验和思维扩展的过程，能提高学生的解题能力和归纳、总结、概括、推理的能力，提升学生思维品质。

如在苏教版三年级下册“有趣的乘法计算”一课中，让学生探索两位数乘11的计算规律。这里的教学可分三个步骤进行：①说算式特点，算出各题得数。②观察比较，初步发现规律。教师引导学生说说“两位数乘11后所得的积个位、十位、百位上是怎样的数”，这是对规律的初步提炼和表达。学生通过交流得出结论：两位数与11相乘，积的个位和百位上的数与原来两位数个位和十位上的数相同；积十位上的数是原来两位数十位与个位上的数之和。然后学生根据教师的引导进一步交流归纳总结出“两边一拉，中间一加”的计算方法。③验证并完善规律。先让学生应用初步发现的规律完成书上的练习，然后出示59×11，让学生思考：当个位与十位上的数相加满10时，积应该如何求出？学生通过相应的讨论和交流以及联系“满10进1”的计算经验，进一步完善对两位数乘11计算规律的认识。

交流的碰撞，总结了两位数乘11的计算方法；适时的点拨，揭示了知识的本质，从而抽象概括出两位数乘11的计算规律，用语言表达激发思维、引发思考，让学生在活动中不断发展、补充、完善思维。

三、“思”中融通：让思维在孩子头脑中绽放

小学生正处在以形象思维为主逐步向抽象思维过渡的阶段，抽象的文字往往让学生读不懂题意，在分析问题过程中若能将文字与图形相融合，借助图形把问题中相关信息表示出来，可以帮助学生形象直观地观察分析思考问题。

1.隐性思维视觉化

思维是人用头脑进行逻辑推导的属性、能力和过程，思维最大特点之一是其过程往往是“隐性的”。课堂上经常有教师问学生：“你们听懂了吗？”学生总会点点头。是否真的每位学生都听明白了？他们究竟接受到了多少知识？在学生的头脑中，新知与旧知又有着怎样的联系呢？这对教师来说，无疑是个谜！

要解开这个谜团，还是要从思维的特点来研究突破。教师不了解学生真实的思路，很难做到以学定教、顺学而导，但是让全班同学一个一个表达出自己的思维过程，会占用课上大部分时间，也不一定能充分表达出自己所思所想。所以若要使得每个学生都能参与其中，并能充分表述自己对新知的理解，就需要一个载体来如实反映学生的思路，简单的来说，便是在教学中让学生的想法画下来，画图是一种比较简单的方式，也是学生表现思维、教师观察学生思维的有效方式。[[iii]]如在教学三上《一一间隔》一课时，让学生自主探索间隔排列的圆和正方形数量关系时，教师首先需要学生通过画图明确一一间隔排列的两种物体的排列方式。不同的画法折射出的正是学生不同的思维水平——有些学生只是仿照前面学习的例题，画出一种表示方法：两端图形相同，相邻两个正方形中有一个圆，或者相邻两个圆中有一个正方形；还有些同学能将前面两种情况都考虑进去，并得出：两端都是正方形的情况下，正方形比圆多1，而两端都是圆的情况下，正方形比圆少1；另一部分同学则在前面的基础上又多思考出一种圆与正方形个数相等的情况，这些同学的思维能力相对于其他同学来说更高一些，他们能更具体地、全面地、深入地认识到图形的内在规律。教师可以组织学生讨论他们画出的三种图，并研究在什么情况下两种物体数量相等，什么情况下他们数量相差1。通过师生交流进一步完善学生对间隔排列的两种物体间数量关系的认识，从而加深学生对“一一对应”这一数学方法的体验。

2.零散知识结构化

小学数学知识有很强的系统性，很多新知识都是在已有知识基础上形成和发展起来的，每一次所学知识都是为后面的学习打下基础，数学知识间是紧密联系的。对小学生来说，注重数学知识的整体性，理解领悟数学知识间的联系，才能真正把握数学知识的本质，更好地发展数学思维。教师在备课时，不能只着眼于一课，而应联系课本前后知识点设计教学；组织教学时，更要引导学生学会分析比较新知与旧知，进而将新知更好地融合入自己的知识体系中。

如复习三上《两三位数除以一位数》这一单元时，可以在课前先让学生回顾本单元的内容，“学习两三位数除以一位数过程中遇到哪些问题？又是如何解决的？”“笔算时应注意什么？”然后学生根据自己对所学知识的理解绘制数学学科思维导图。课前进行思维导图的绘制对学生来说是一种检验的手段，也能帮助教师了解不同学生对知识点的掌握程度。课上教师可以有针对性地将部分学生的思维导图投影展示，全班进行点评，教师及时补充梳理，进一步完善学生的思维导图。整个教学过程都是以学生为主体，学生在绘制中有效地用数学思维方式去思考，在交流讨论中逐步完善自己的知识结构，学会将单一零散的知识系统化、条理化、结构化，从而促进学生结构化思维的发展。

（两、三位数除以一位数单元复习思维导图）

3．复杂问题简单化

很多教师发现学生上课听懂了，而到练习时又常出错，在数学的题海中迷失方向，转不出去。但其实数学并不可怕，只要理清数量关系，复杂的数学问题也能变简单，任何难题都能迎刃而解。

如：绿花有12朵，黄花的朵数是绿花的2倍，红花比黄花多7朵。红花有多少朵？这一题是让学生已知三个数量间的关系和其中一个数量，求另一个数量的两步计算实际问题。已知条件间的相关性并不是十分清晰，学生展开思考时，需要在已知三个条件中进行合理的选择。仅从文字中分析选择条件来解题对三年级学生来说还是有一定难度的，这时教师可以利用教材给出的线段图表示题中的条件和问题，进而再让他们看图说说绿花、黄花和红花朵数之间的关系。接下来，教师提出：“根据上面提到的这些关系，你打算怎样解答教材提出的问题？”引导学生从已知条件出发展开进一步思考。在学生充分交流的基础上，出示下图让他们把握认知对象的本质，从而理清思路。

（绿花、黄花和红花数量关系图）

很多教师认为让学生多做题就能产生牢固的记忆，从而提高答题准确率，尽管这也能帮助学生提高成绩，但却只把学习当做简单的条件反射，忽视学生思考过程及知识建构的作用，课堂缺乏思维。长此以往，学生会缺少思考意识，思维能力得不到发展。教师在教学时应更多地注重学生数学思维能力的培养，让学生学会将抽象数学问题与图示结合起来，打开思维的大门，让不可见的思维可视化，复杂的问题简单化，从而找到有效的问题解决的办法。

在科技飞速发展的大数据时代背景下，传统教育难以满足现代对素质人才的要求，所以需要改变教学模式，更注重培养学生的思维品质和能力。小学数学思维可视化是一种新的教学模式，改变了教师的教学方式和学生的学习方式，构建出一个智慧、开放、自由、个性化的课堂，让学生在轻松的学习状态下学会了知识、掌握了技能、发展了思维！