“乘法分配律”数学模型的建构

江苏省启东实验小学  陈金飞

数学模型，一般是指用数学语言、符号和图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。乘法分配律的教学，很多的教师从其外形特征出发，出示4～6个符合乘法分配律特征的等式，引导学生观察等式，通过找出它们的相同点，用不完全归纳法抽象出等式模型：(a+b) ×c = a×c +b×c。这样的教学过程，只注重外形记忆，轻视本质理解，因而学生容易受交换律、结合律的影响，产生思维定势，出现类似a×(b＋c)=a×b＋c的错误，学生知其然，而不知其所以然。 只有从乘法分配律的本质出发，引导学生对数学学习的过程进行分析与解构，并自主建构数学模型，才能丰富和深化对乘法分配律的认知，有效实现从直观到抽象的过渡与演变，在充分感悟的过程中，真正意义上实现对“分配”本质的深刻理解。

一、探究现实问题，初步感知数学模型

出示主题图：

               图1

师：从图上你看到了什么？能提出哪些数学问题？

生1：我看到了工人师傅在墙上贴瓷砖，左面墙上已经贴了9行瓷砖，每行4块。右面墙上也贴了9行瓷砖，每行6块。

生2：左面墙上一共有多少块瓷砖？右面墙上一共有多少块瓷砖？

生3：两面墙拼起来一共有多少块瓷砖？两面墙相差多少块瓷砖？

师：面对一个情境，大家能从不同的角度提出问题，真能干。我们先一起研究：两面墙上一共贴了多少块瓷砖？该怎么解决呢？请独立思考，再汇报交流。

学生汇报。

生1：4×9+6×9=90（块）。4×9求的是左面墙上瓷砖的块数，6×9求到的是右面墙上瓷砖的块数，加起来，就求到了瓷砖的总块数。

生2：（4+6）×9=90（块）。4+6求到的是把两面墙拼在一起一行有多少块，再乘9求到9行一共有多少块。

师：仔细观察这两个算式，你有什么发现？

生：我发现两种方法算到的瓷砖块数相等。

师：所以，我们可以用等号把它们连起来。    

板书：（4+6）×9=4×9+6×9

思考：数学源于生活。从生活中的实际例子，让学生初步感悟数学模型源于生活，并且是他们“独到的发现”，更有利于激发学生探究的兴趣。图形的出示，既是探究、建立数学模型的显性依据，同时，对于研究、建立“乘法分配律”模型也更有直观的说服力。

二、提供充足时空，深入理解数学模型

师：两个不同的算式，结果却相等，你知道其中的奥秘吗？结合图形说说你的想法。

课件展示图形动态变化，学生根据图形作出解释。（如图2）

                图2

生1：竖着看，一列有9块瓷砖，共4+6=10列，表示10个9相加。4×9+6×9是4个9加6个9，也是10个9相加，所以结果相等。

生2：如果横着观察，一行有1个4和1个6相配,9行是9个4和6的和，（4+6）×9是9个（4+6），4×9+6×9是9个4加9个6，也是9个（4+6），结果相等。

师：看来不管是竖着观察，还是横着观察，用乘法的意义都能解释为什么这两个式子存在相等关系。想一想，还有其他的分拆方法吗？换一种拆分的方法，是否也存在等式？自己动手分一分，写出相应的等式，在小组里交流。

生1：我们是竖分的，又得到了四种分法，等式分别是：（1+9）×9=1×9+9×9；（2+8）×9=2×9+8×9；（3+7）×9=3×9+7×9；（5+5）×9=5×9+5×9。                           

生2：我们是横分的，得到四种不同分法，等式分别是：（1+8）×10=1×10+8×10；（2+7）×10=2×10+7×10；（3+6）×10=3×10+6×10；（4+5）×10=4×10+5×10。

充分展开学生的思维过程，把模型的建构建立在富足的经验积累与数学理解之上，就为学生真正把握模型内涵、数学本质奠定了坚实的基础。深入的探究，多层面的举例，为学生探索规律，建构模型提供了思维路径。

三、抽象形成规律，建构完善数学模型

师：观察这些等式，你有什么发现？

生1：这些算式都可以合起来算，也可以分开算，无论是合起来算，还是分开算，得数一样。

生2：两个数的和同一个数相乘，可以用这两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

生3：可以用字母表达： (a+b) ×c = a×c +b×c

师：你太厉害了，把这些等式的共同特征都用字母表达出来了。这个规律是偶然的巧合还是必然的规律？

生1：我们可以借助刚才的长方形图来解释，两个小长方形的长分别是a、b，宽是c，那么大长方形的面积可以用(a+b) ×c表示，也可以用a×c +b×c来表示，所以(a+b) ×c = a×c +b×c。（如图3）

图3

师：同学们真了不起，大家通过努力，发现了数学上一个重要的运算定律——乘法分配律。

由具体实例抽象、上升为字母公式，由松散的个例上升为严谨的数学结论，经过不完全归纳，学生在教师的引导下有效地建构出解决问题的数学模型----乘法分配律，看似轻而易举，实则前面的铺垫探究功不可没。

四、拓展知识结构，内化提升数学模型

建构“乘法分配律”数学模型的意义不仅仅是掌握其外在的、显性的公式，更重要的在于如何把这种数学模型深深地建构在学生的数学结构中，当需要时，即可将这个模型用来解决实际问题。因此，实际教学中，有必要引导学生在基本模型的基础上，对规律进行合理的联想和必要的拓展与深化，引导学生继续思考：乘法对减法有分配律吗？多个数的和乘同一个数还存在乘法分配律吗？让原来的模型再次生长，丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识。

师：像（a+b）×c=a×c+b×c这样的等式我们可以看作是一个数学模型。如果要求“两面墙上的瓷砖相差多少块？”，能依照刚才的学习过程，也来建立一个数学模型吗？

生1：可以列出两个式子6×9-4×9和（6-4）×9，这两个式子的结果也相等。如果再举两个例子，也可以发现也有这样相等的规律，所以可以用字母表示：（a-b）×c=a×c-b×c。

生2：对于这个数学模型，我也可以用乘法的意义来解释，（a-b）个c等于a个c减b个c。

师：如果让图5继续生长（如图4），能否用字母来表示：你新的猜想？

                           图4

生：(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d

从乘法分配律的基本等式模型拓展至（a-b）×c=a×c-b×c、(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d的等式模型，是学生数学思维的一次飞跃。由此，在掌握基本模型的基础上，可以进一步拓展成(a+b+c+d+…) ×e = a×e+b×e+c×e+d×e+…×e，至此，将数学模型的探究过程上升完善至一个数学思维系统的建构。

【作者简介】陈金飞，江苏省启东实验小学（226200）.

【基金项目】小学数学智性学习研究（江苏省教育科学“十二五”重点规划课题，编号B/b201302352）.

联系地址：江苏省启东市人民中路720号（226200），联系电话：15962731800，

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【原文出处】《教学与管理》（小学版），2015.2.43～44