抓知识的系统变构  促思维的深刻灵动

启东小学数学乡村骨干教师培育站 学员交流文章

［摘要］如今思维过于浅表化、机构性记忆式学习等，在小学生的学习中依然较为突出。基于变构学习理论，从学会辨析比较概念-数学概念的变构、揭示事物的本质和规律-解题策略的变构、感悟数学思想方法-思维方式的变构这三个方面，探究如何抓住数学知识的变构点进行有效的教学设计，以此促进学生的思维品质不断深刻。

［关键词］变构点；数学思维；深刻性

变构学习理论是学习科学的产物，它认为学习是基于结构上的解构与建构并进的知识炼制的过程，涉及三个不可忽视的方面：结构-解构-（重）建构。[i]在小学数学课堂教学中，思维品质过于表浅化的问题普遍存在，具体表现在对于数学概念的认识非常肤浅，无法掌握概念的本质；死记硬背公式定律，遇到难题不会调动合适的解题策略去思考；存在思维定式，对于知识的理解不深刻，停留在简单地记忆信息阶段，这与教学中忽视学生在原有概念基础上的解构与再建构教学有很大关系。在实际的教学中，充分认识变构学习的重要意义并切实进行有效实践，对于小学高段数学教学具有很好的理论意义，同时为促进有效学习、深度学习，培养学生思维品质深刻性提供了有益的途径。

一、数学概念的变构：在辨析比较中凸显本真

1.数学概念从“内隐”迈向“外显”

概念是反映客观事物本质属性的一种思维形式，教师如果向学生直接灌输概念的正确定义，学生只能接触到概念的表象，在运用概念解决问题时就会遇到困难。数学概念有其内隐性，学生只有接触到了概念的本质特征，才能真正地理解并掌握概念。变构学习理论认为概念是一种思考方式，它不是通过教师向学生单向传递而得到的，需要学生主动地调用自己的概念系统使之活化。学生的前概念是学生理解新概念的基础，但也有可能成为教师教学的障碍，教师在进行教学之前就应该查明这点，利用学生的前概念设计有效的教学活动打破这层障碍。

2.概念教学从“结论”趋向“过程”

数学概念是在感知的基础上，通过比较事物属性的异同，最后抽象而成的，因此数学概念是抽象的结果。学生由于知识经验和心智模型不够完善，如果不经历概念的形成过程，是很难理解概念的本质的。变构学习理论认为设置“对质”的问题情境能诱发学生概念系统失衡，激发学生的探究欲望，借此教师再带领学生分析概念的形成过程，就能理清概念的内涵和外延，深入培养学生的深刻性思维品质。

3.概念结构从“建构”走向“重构”

数学概念不是单独存在的，它一定和学生已有的概念有所关联。变构学习理论认为学生不是一张白纸进入课堂学习的，他们的头脑中有着自己的认知结构，学生学习新知时会自主地调用它们。要想新的知识成功“落户”，必须解构已有的概念网络，对新知和旧知进行结构上的重建，从而形成新的稳固的概念结构，在解构-建构不断交替进行的过程中促进思维品质的深刻性。

例如有限小数、无限小数和循环小数的教学，这一部分在苏教版教材中并未放在一个单独的章节里学习，而是作为小数除法中商的近似值这一部分的阅读素材：“你知道吗？”中出现的。如果只是让学生直接阅读或教师讲解这三种概念的异同，学生能获得对于概念的初步认识，但这时候他们只是接触到了概念的表象，并没有体会概念实质的形成过程，学生的深刻性思维品质也得不到发展。因此教师首先要理清学生已有的概念结构。在此之前学生已经学过了整数、分数、小数，而接触到的小数位数都是有限的，即使遇到除不尽的情况，题目也会要求保留两位小数，因此学生学习这部分内容最大的障碍是理解“无限”和“循环”，要让学生解构原来小数位数都是有限的思想，重新建构起小数的概念系统。

在课堂上先让学生计算“14÷16”和“5÷3”，引发学生概念系统失衡，5÷3怎么也除不尽，得到的小数跟之前学习的不一样。让他们通过列竖式计算的过程，深刻感受每一位商是怎么来的，为什么前者的商小数部分是有限的，后者的商小数部分是无限的，尤其是观察后者为什么会发生循环。之后再计算“14÷37”和“25÷22”，感受循环小数不同的样式。学生经历了有限小数、无限小数和循环小数的形成过程，对概念的内涵有了更本质的理解。

之后要及时安排一些对比的题目，在辨析中让他们明白区分有限小数和无限小数的本质是小数部分的位数是否有限，在辨析中更深层次地建构起无限小数和循环小数之间的关系：循环小数一定是无限小数，而无限小数不一定是循环小数。至此，学生建构起了新的关于数的概念结构，这种重视概念的形成过程，辨析概念、理清其内涵和外延的过程，也是深入培养深刻性思维品质的过程。

二、解题策略的变构：深入数学的内在核心

1. 揭示策略需要炼制知识

   形成解题策略对于学生的学习水平要求较高，一个思维品质不深刻的学生，在解题过程中往往只能看到事物的表面，找不到事物的内在联系，就不能系统地展开理解活动。变构学习理论认为在知识生产的过程中知识的炼制非常重要，炼制是建立联系的过程，是多个维度综合的结果。在教学过程中，教师要善于引导学生找到知识之间的联系，还原事物的本质和规律，在逐步揭示解题策略的过程中引发深刻性思维的产生。

2. 深化策略学会知识的“知识”

   授人以鱼不如授人以渔，学生不仅要学会具体的知识，而且要学会如何学习知识，掌握一定的思维技能。变构学习理论认为一些知识之所以成为“惰性”知识，是因为学习者对知识没有全面的了解，没有形成良好的思维方式。[ii]在教学过程中，教师首先要让学生确认已经掌握的解题策略，然后对这些策略进行“后退一步”观思，弄清楚这些策略可以应用的领域，或者“追根溯源”，弄清楚策略的生产机制，形成系统地分析知识的方法，为学生更好地掌握策略提供有效的途径。在此过程中深化解题策略，促进深刻性思维品质的发展。

3. 巩固策略及时进行再投资

   解题策略只有在被运用的时候才算真正被掌握，因此在教学过程中一个重要的环节就是将所学习的策略及时进行再投资。变构学习理论认为只有当学习者发现新知识的价值，并学着让它运用起来时，这种经历实践检验的知识才有意义。教师要精心设计练习题或操作活动，让学生在新情境中将炼制的策略及时得到调用，成为学生永久性的知识。

   如苏教版五年级上册第二单元《多边形的面积》，教师在执教这一单元的复习课时，如果只停留在让学生反复操练三角形、平行四边形、梯形的面积公式的计算上，学生的思维程度始终是较浅的，教师应该带领学生进入更深层次的学习。这时的学生已经对三角形、平行四边形、梯形三种图形的形状特点有着明确的区分，也能熟练地运用面积公式进行计算了，也自然地以为这三种图形的面积公式各司其职、互不相干，教师的教学设计首先得打破这层障碍。

   教师可以先出示中间两个梯形，让学生发现这两个梯形的形状虽然不一样，但是面积都相等，因为它们上底和下底之和都相等,高也相等。接着教师提问：如果上底接着缩小会变成什么图形？上底接着扩大会变成什么图形？面积有没有发生变化？学生就会发现三角形、平行四边形、梯形之间其实是有联系的，三角形其实可以看成上底为0的梯形，平行四边形其实可以看成上底和下底都相等的梯形，这四个图形都可以看成上底和下底之和为6，高为5的梯形。在这个变化过程中，学生头脑里慢慢重新建构了对三角形、平行四边形、梯形的认识，在炼制新知的过程中提升了学生数学思维品质的深刻性。

   接着教师再带领学生回顾教材的编排顺序以及三角形、平行四边形、梯形面积的推导过程，思考为什么要先学习平行四边形，再学习三角形和梯形。发现推导平行四边形的面积公式是将平行四边形转化成同底等高的长方形（长方形的面积公式早已学过），推导三角形和梯形的面积公式是将它们转化成“同底”等高的平行四边形，面积是其一半，这三者的面积公式是有联系的。而得出的面积公式的背后其实蕴含着一个重要的解题策略——转化，平行四边形是等积转化，三角形和梯形是扩倍转化。在“后退一步”，对知识反过来进行观思的过程中培养学生发现事物内在客观规律的能力，进一步提升数学思维品质的深刻性。

   最后设置小组合作探究活动，及时地将策略进行再投资。让学生利用一个三角形，通过剪、拼把它转化成平行四边形或长方形，根据转化前后两个图形之间的关系，推导出三角形的面积计算公式。这样既巩固了转化策略，又加深了对推导面积计算公式原理的理解。

   三、思维方式的变构：数学思想引领下的思维重构

   1.思维转变须借助问题

   具有抽象性和逻辑性的教学内容是学生获得深刻性数学思维品质发展的重点，却也是教学的难点，因为思维方式一旦在头脑中形成，是很难被改变的。变构学习理论认为问题是引发学习者展开智力活动最主要的驱动力。教师要设置好问题情境引发学生认知冲突，让学生感受到原有的概念系统遇到挑战，产生寻求新的解决途径的迫切需求。

   2.思维转变须倚靠参照系

   变构学习理论认为学生在形成新概念时会自然地倚靠他们已经掌握的概念系统，不仅指学生头脑中的概念知识，还包括学生目前的思维方式和推理水平，这些都构成了学生展开理解活动必不可少的参照系。教师要在教学过程中将学习内容与学生已有的参照系里的元素建立联系，借助参照系整合新知，从而完成思维方式的转变。

   3.思维转变须建立新网络

   变构学习理论认为在学生的思维方式进行转变时，他的心智结构实际上是要进行重组的。教师要抓住这点，调动新知与旧知之间的相互作用，让学生在解构-建构思维方式的过程中产生新的意义网络，为以后的学习提供支撑，在此过程中感悟数学思想方法，培养数学思维品质的深刻性。

   比如北师大版四年级下册第五单元《用字母表示数》，这一教学内容有别于学生以往的学习。因为在过往的学习中，学生都是对具体数字进行计算，形成了较强的算术思维，但是“用字母表示数”涉及了更为抽象的代数思维，学生的心智运算需要从算术思维过渡到代数思维。[iii]尤其是解决问题时，学生头脑中的算术思维根深蔕固，原有的算术思维是学习的基础，同时也对新的学习带来了干扰。教师在进行教学设计时要考虑到这一点，同时注意培养学生的符号意识，为日后学习方程打下基础。

   教师可以先让学生回忆运算律和字母公式，让学生调用已有的知识，发现以前就已经学过用字母表示任意数和计算公式了，这样比用语言描述更简洁明了，具有归纳概括性，让学生在心理上接纳字母。再出示数青蛙儿歌：

   1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿

   2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿

   让学生接着说一说儿歌，在说的过程中理清儿歌里面蕴含的数量关系。接着教师提问引发学生思考：这样往下说儿歌好像永远也说不完，谁能想出办法一句话终结这首儿歌？引发学生认知冲突：已有的数字已经无法满足需求了，需要寻求新的概念。有的学生可能会说：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿；a只青蛙a张嘴，c只眼睛d条腿……。教师可以引导学生提出质疑：这样的儿歌感觉上好像差了点，没有说清楚数量关系。在课堂上创设情境引导学生间产生思维的碰撞，最终形成“a只青蛙a张嘴，a×2只眼睛，a×4条腿”的共识，让学生明白字母还可以表示数量关系。这样一步步借助算术思维进行整合，然后转化成新的概念体，最后引导学生概括出抽象的代数方法。

   接着出示问题，创设情境：妈妈的年龄猜不出，用字母n表示，女儿的年龄比妈妈小28岁，可以用什么来表示？（n-28），如果女儿今年4岁，妈妈今年几岁？（32岁）。让学生感受到字母还可以表示未知数，而这样通过式子运算推理求得其值的数学方法，是数学中特有的一种思想方法——建模思想。这样通过创设情境，引发学生认知冲突，动摇已有的知识概念，自主地进行解构--建构新的思维方式，让学生体验从具体到抽象，特殊到一般的归纳变化过程，能培养学生抽象的逻辑思维和善于概括的能力，促进学生数学思维品质的深刻性。

   学生学习数学的一个重要的目标就是获得思维品质的发展，而深刻性是判断学生数学思维品质的一个重要指标。在教学过程中教师要善于抓住知识的变构点，带领学生深入学习，从而促进学生深刻性思维品质的发展。学习是一个极其复杂的过程，教学过程也不能只按照变构学习理论来进行一刀切，正如焦尔当说的：我们的教学不能恪守一种方式，必须有不同的、多样的策略，单独用某一理论来解释一切恐怕是徒劳的。[iv]