教科书与教学用书，亦需谨慎对待

――苏教版四年级（上册）数学三处教学内容的思考与改进建议

江苏省启东实验小学教科室 刘爱东

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数学教科书（也称数学教材）是师生学习数学的蓝本，是师生进行教学互动不可或缺的工具，它为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源；而配套的师生教学用书（包括教师教学用书、配套的教科书补充习题等），高屋建瓴，提纲挈要，既是对教科书的补充与说明，同时也反映教科书编写的理念与思路，为师生的教学与练习指明方向。苏教版义务教育数学教科书在2001实验教科书的基础上，于2014年进行了较大幅度的调整，调整后的教科书和师生教学用书“力求体现课程内容的数学实质，素材的选择注意密切联系现实，内容的呈现关注数学知识的整体性”，较为鲜明地突出了科学性、整体性、过程性、规范性和现实性。

但笔者和同事们在使用四年级上册教科书与教学用书时，发现有三处内容在编排与教学中可以进行适当改进，以使其更符合学生学习数学的认知规律、知识背景和活动经验，更符合新课程标准的理念，使教科书与教学用书更具规范性、科学性与现实性。

一、“前10名”还是“第10名”？

为让学生经历数据分析和比较的过程，引导学生在分析和比较的过程中，体会数据分析的方法，发展数据分析观念，教科书第44页练习七第２题安排如下题目：

其中，第（2）问的目的在于：引导学生根据这个班女同学１分钟仰卧起坐成绩的分布情况，通过合情推理解决问题，体验数据分析方法，感受数据所蕴含的信息。

教师教学用书上是这样说明的：“可以引导学生这样思考：在这个班女同学1分钟仰卧起坐的成绩中，50～59个的有3人，40～49个的有10人。也就是说，她的成绩在40～49个的10人中排第7名，所以，她的成绩在40～45个之间的可能性比较大。同时还可以让学生在原始数据中找出第10名的成绩进行检验。……”

显然，把“教科书上的问题”与“教师教学用书上的说明”相比较，有两个地方不相符合：其一，教科书上问题中求的是排在“前10名”，而教师教学用书上指的是“第10名”，“前10”不等于“第10”。“前10”指的是一个范围，从“第1”到“第10”，这10个中的任何一个，都符合要求；而“第10”是一个序数，按序排列在第10名，是一个确定不变的名次。由此引出第二点，教科书上所要求的是“你能估计她（排在前10名）的成绩可能是多少吗？”，相应的答案是从第1名的“57” 个到第10名所在的“40～49”个都有可能，即前10名的成绩可能是“40～57个”；而教师教学用书上的说明是“她的成绩在40～45个之间的可能性比较大”，回答的是第10名成绩的可能性。即便如教师教学用书所言“让学生在原始数据中找出第10名的成绩进行检验”，学生找出第10名的成绩“42个”处于“40～45个之间”，验证了“她的成绩在40～45个之间的可能性”。但数学是严谨的科学，仅仅通过一个样本，而不是覆盖所有可能的样本来验证，不具普适性，即使第4～10名都是“49”个也是有可能的；且教师要引导10多岁的小学生，跳出成绩统计表中已预设好的“40～49个”的成绩，来理解“她的成绩在40～45个之间的可能性比较大”，实践证明，是太难为他们了。

据上分析，如果教科书上的问题（2）改为“张小红１分钟仰卧起坐的成绩在这个班女同学中排在第10名。你能估计她的成绩可能是多少吗？”，教师教学用书的说明改为：“可以引导学生这样思考：在这个班女同学1分钟仰卧起坐的成绩中，50～59个的有3人，40～49个的有10人。也就是说，她的成绩在40～49个的10人中排第7名，所以，她的成绩在40～49个之间的任何一个都有可能，而在40～45个之间的可能性比较大。同时还可以让学生在原始数据中找出第10名的成绩进行检验……”似更为妥当。

二、“条件”还是“策略”？

为能帮助学生进一步积累解决实际问题的经验，培养策略意识，提高分析和解决问题的能力，应用意识，教科书第58页第五单元安排了“解决问题的策略（列表）”例2：

本例的教学目的在于，使学生理解和掌握归一问题的结构和数量关系，进一步感受用列表的方法整理条件和问题的过程，体会从条件和问题出发分析数量关系，探寻解题思路的策略。

教师教学用书是这样引导的：理解题意时，可以先出示题目，让学生读一读，说一说从中能了解到哪些信息，要解决题中的问题，需要什么条件，可以从哪里找到这一条件；再引导学生观察表格，说说是怎样理解表中信息的……

由例题及教师教学用书上的说明可知，本例中的表格，是一张某一时刻及其对应的与7：00时水位下降的厘米数的观测记录，属于“条件”，在解决问题“要使水位下降120厘米，一共要放水多少小时”时，只需要明确：“放水时间变化，水位下降的高度也随着变化，但放水的速度始终保持不变，都是每2小时水位下降12厘米”，即需要根据表格中所提供的“条件”，先求出每小时水位下降多少厘米。即此表格所起的作用，只是对解决问题所需要的“条件”的简单记录与罗列，与解决问题的“策略”无关。

所谓“策略”，应该是“一种解决问题的好的方法”。简单记录某时刻“条件”的表格，是一种直接的“给予”，并无学生思维的参与，谈不上“方法”，更遑论“策略”。其实，把列表作为解决问题的策略，需要教者有这样的意识：通过教学，要让学生经历“进一步感受用列表的方法整理条件和问题的过程”，要让学生具有初步的“筛选重要信息和有用数据”的能力，需要使学生“经历无序思维有序化，事件信息数学化，信息呈现规范化”（见本刊2014年4月上旬嵇宪长撰写的《列表，是一种策略吗》）。再深入思考，作为一种策略，此处“列表”的真正意蕴在于：让学生将题中的条件和问题，有条理地、简约地进行“一一对应”地整理，并将整理出来的数量信息展现在表格中，其策略使用的切入点，当是发现数量之间的联系，是一个借助列表解决问题的过程。

因此，教科书上的例2只是对“条件”的简单呈现，而非借助列表解决问题的“策略”，作为策略，应该使学生“进一步感受用列表的方法整理条件和问题的过程，体会从条件和问题出发分析数量关系，探寻解题思路的策略”。而随后与本例相对应的“练一练”中的两道题，也要求学生“先利用表格整理条件和问题，再解答”，较为鲜明地印证和贯彻的是“策略”的思想，而非“条件”的罗列。为真正体现“策略”思想，培养学生策略意识，可引导学生经历由具体逐步抽象到有数学意味的列表整理条件和问题的过程。可以将例2作如下修改：

三、“降低”还是“依旧”

“小学阶段只要求初步认识平行线，不涉及平行线的性质，教材适当降低了画平行线的教学要求，只要求借助工具画已知直线的平行线，不再要求过直线外一点画已知直线的平行线。”（见《教育研究与评论·小学教育教学》2014年8月楚平撰写的《苏教版义务教育数学教材四年级上册修订说明》）。教科书第55页第八单元例10教学画平行线的方法，较为忠实地落实了上述想法，只要求学生想办法画一组平行线，所借助的工具可以是方格纸上平行的线或直尺上的对边等。

但同样权威的，与教科书相配套的义务教育教科书《补充习题》（数学四年级上册）第79页第5题，经过点A画出已知直线的平行线；第6题，用画平行线的方法，把下面的图形分别画成一个长方形和一个正方形；第8题，先在下面的两条平行线之间画一个最大的正方形，再分别求出这个正方形的周长和面积，以及第81页第5题，过点A画出直线a的垂线和直线b的平行线；第6题，过点A分别画出已知直线的平行线和垂线。看一看，画出的两条直线互相垂直吗？第7题，过点A先画出已知直线的垂线，再画出这条垂线的平行线，你发现了什么？第83页第8题，用画垂线和平行线的方法画一个长3厘米、宽2厘米的长方形和一个边长2厘米的正方形等近10道题，都延续了旧教材上“用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线”的方法。

   查阅《义务教育数学课程标准（2011版）》中对于平行线的教学要求，只有在内容标准第二学段（4～6年级）图形与几何部分有“4．结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”，而“能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线”，则是第三学段（7～9年级）的要求了。

   据此，教科书上的理解与编排，较为正确地反映了《义务教育数学课程标准（2011版）》对于平行线的教学要求，而《补充习题》上的内容安排，显然还是旧教材上内容，未及及时改正。在教学中，笔者的学生用他们自己能够理解的方法，创造性地用利用“三角板一条直角边上的刻度线，与另一条直角边互相平行”，用一把三角尺，就解决了“过已知直线外一点画这条直线的平行线”的难题(如下图)，也契合了“垂直于同一直线的两条直线互相平行”的规律。当然，这种画法有时会有误差，但对于四年级的学生而言，已是难能可贵。

本文发表于《中小学数学》2015年第6期