●方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用，从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，是学生用算术思想飞跃到用代数思想分析数量关系的重要载体。当我们张开双臂热情拥抱它时，不妨“未雨绸缪”，让孩子在丰富的体验中感悟方程本质，在解决问题中愿列方程，会列方程，善解方程，切实提高解决问题能力，发展数学素养。

体验中感悟本质 沟通中实现飞跃

——关于方程教学的实践与思考

陈金飞

方程作为一种重要的数学思想方法，是学生用算术思想飞跃到用代数思想分析数量关系的重要载体。它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义。但在教学过程中我们发现方程教学难度较大，效果不甚理想。主要体现在三个方面：一是学生不愿用方程解决问题；二是学生抓不住等量关系列方程；三是学生面对稍复杂方程无所适从。针对这一现象我校数学组作了专题探究，通过深入的实践，有针对性地优化方程的教法、学法，取得了良好的教学效果。

一、加强体验，凸显优势愿列方程

算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数。列方程也依据问题中的数量关系（特别是相等关系），但它打破了列算式时只能用已知数的限制，可以根据需要含有相关的已知数和未知数，正因如此，一般地说，列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。但由于小学教材提供的例子都是简易方程，数量关系比较直观，因此学生对方程法解决问题的优越性缺乏深刻体验，加之学生初步接触方程，还没有形成用方程法来解决问题的习惯，因此，学生忠实于算术法解题也就情有可原。如果我们让方程与解决实际问题密切结合，让学生感受到用方程解决问题，可以使数学思维变简洁，那学生就会愿意用方程解决问题。为了帮助学生感受方程法在解决某些类型问题时在思维上的优越性，应在教学中组织学生经历多角度体验。

1.对比体验。

教师有意识通过对比活动让学生放大体验，从而获得鲜明而准确的体验。

例如：“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”

师：用算术法或方程法列式解答，并说说列式的想法。

生1：我是用算术法解答，用64-22=42（米），求出小雁塔高度的2倍，再用42÷2=21（米），求出小雁塔高度。

师：生1的想法正确吗？

生2：生1的想法是错误的，他以为题中出现“少”字，就用减法计算。其实这道题中要求的问题：“小雁塔高多少米？”是1倍数，大雁塔比2倍数少22米，反过来理解：小雁塔高度的2倍比大雁塔高度多22米，因此用64+22=86（米），求出小雁塔高度的2倍，再用86÷2=43（米），才能求出小雁塔高度。

生3：我是用方程解的，设小雁塔高x米，根据“小雁塔高度的2倍-22=大雁塔高度”，列出方程2x-22=64，解得x=43，即小雁塔高43米。

师：我们回顾一下解决问题的过程，比较两种解法，有什么启发？

生4：这道题要求的问题是1倍数，用算术法解答需要逆向思考，而用方程解只要顺着题意列出方程，显得较容易，正确率高。

2.变式体验。

教师引领学生通过建立不同的等量关系式，列出不同的方程式，帮助学生多角度地理解题意，不断积累现实问题数学化的经验，从而提高方程法解题的能力。

例如：“师徒两人同时装配计算机，师傅每天装配31台，徒弟每天装配22台。经过多少天师傅比徒弟多装配72台？”

师：找出题中的等量关系式，根据等量关系式列出方程。

生1：我是根据“师傅装配的总数－徒弟装配的总数=72”，列出方程“31x－22x=72”。

生2：我是根据“徒弟装配的总数＋72=师傅装配的总数”，列出方程“22x＋72=31x”。

生3：我是根据“师傅装配的总数－72=徒弟装配的总数”，列出方程“31x－72=22x”。

师：比较三种解法，你有什么发现？

生4：等量关系式不同，列出的方程也不同。

生5：虽然方程不同，但最后解得的结果都是相同的。

师：通过比较，大家积累了一些解方程的经验，今后我们用方程解决问题时，可以多角度思考问题，提升我们的思维水平。

3.策略体验。

初次接触方程，学生往往机械地抓住问题直接设元，致使面对列出的方程手足无措。通过直接设元与间接设元的比较，让学生获得解方程难易不同的程度体验，提高解决问题策略的灵活性。

例如：盒子里装有同样数量的红球和白球。每次取出6个红球和4个白球，取了若干次以后，红球正好取完，白球还有10个。盒子里原来有红球多少个？

师：找出题中的等量关系式，根据等量关系式列出方程。

生1：我是设红球有x个，根据“取的次数相同”，列出方程“x÷6=(x－10)÷4”， 但我不会解这个方程。

生2：我是设取了x次，根据“红球和白球数量相同”，列出方程“6x=4x+10”。解得x=5，再用6×5=30（个），求出红球的个数。

师：比较两位学生的不同解法，你有什么发现？

生3：有时我们直接设要求的问题为x，解方程的难度较大，而如果换个角度设题中未知的份数或每份数为x，则列出的方程容易解答。

师：那什么时候可以直接设要求的问题为x？

生4：一般要求的问题是份数或每份数时，我们依据总数相等列方程，直接设要求的问题为x，解答较容易。而要求总数时，根据份数或每份数相等列方程，列出的方程中会出现除法，解答较困难。

师：看来通过比较，大家对方程已有了更深的体验，在今后解决问题时，要根据不同的情况，采用不同的策略。

二、感悟本质，找准等量会列方程

方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了代数学的发展，从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。“方程的意义”的教学重点是让学生理解方程的含义，体会方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型。在教学中，我们要让学生深刻把握方程显性特征和隐性特征两个方面。

1.认识方程的显性特征。

教材提供定义：“含有未知数的等式是方程”，我们不能单从形式化的概念出发设计课堂教学。可采用两次分类的方法，通过比较帮助学生认识方程的外部特征，即含有“未知数”和“等式”。

教学片段：《认识方程》将式子“分类”，认识“方程”。

师：我们来看刚才根据天平图所写的几个式子。

教师在黑板上集中呈现8个式子的卡片：

40＋50＝90                 X＋40＞100

50×2＝100                  X＋50＜200

50﹤100                    X＋50＝150

100﹥50                    2X＝100

师：你能把这8道算式按照一定的标准进行分类吗？（提供装有8道算式的信封）同桌间说说你的想法，再进行分类。

交流：黑板上移动式子卡片，将式子分类。

生1：我是按照是不是等式来进行分类的。

学生对黑板上的卡片位置作一些调整，调整后如下：

            50﹤100          50×2＝100

            100﹥50         40＋50＝90             

           X+40﹥100         2X＝100

X＋50＜200          X＋50＝150

生2：我是按照算式中有没有未知数来分类的。学生所排列的式子作如下的调整：

               40＋50＝90            X＋40＞100

               50×2＝100             X＋50＝150

       50﹤100             X＋50＜200

100﹥50                2X＝100

生3：我把这8道算式分成了4类。

学生对黑板上的卡片位置作出调整，调整后如下：

是不是等式

              50﹤100                50×2＝100 

  有没有       100﹥50                40＋50＝90

未知数       X＋40＞100               X＋50＝150

X＋50＜200               2X＝100

师：大家通过思考、交流，把8个式子分成了4类。看看每一组式子有什么特点？

学生一一描述。

师：请同学们仔细观察“X＋50＝150、2X＝100”这一类式子，和其他式子相比，它们具备怎样的特点？

让学生感知“含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵，“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征，理解等式与方程这两个概念之间的包含与被包含关系。即方程都是等式，但等式不一定是方程。

2.认识方程的隐性特征。

所谓隐性特征，即是方程特定的本质特征。方程本质对已知数和未知数一视同仁，通过建立起已知数和未知数之间的等式关系，进而求得未知数。实践中，我们注意循序渐进，分层突破。

（1）渗透字母教学

在低年级计算教学中适当渗透含有字母的题目，让学生对字母有亲切感，降低字母抽象性，为学生接纳方程打下基础。如“2+（  ）=10,2×(   )=10等填加数、乘数的题目”，不妨以“2+a=10，2×a=10,a=(   )的形式出现”。中年级加强用整式表示常见的数量关系教学。如：路程=速度×时间。常见的数字问题：连续自然数；连续偶数；连续奇数；十位上数字为a，个位上数字为b，则这个数为10a+b等。   

（2）加强等量关系式教学

通过多元表征来突破算式思维的限制，发展学生关系式思维。如借助实物操作或表象操作，通过抓两者之间关系的关键句，用直观图、线段图展示出两者关系，架起直观与抽象的符号表征之间的桥梁进行关系式表征，逐步抽象成符号表征。在低年级数学学习中，加强对数量关系的分析，如每份数、份数与总数三个量之间的关系。重视介绍寻找等量关系行之有效的方法。如“甲数是乙数的3倍”、“甲数比乙数的3倍多12”这两句关键句中，首先找“一倍数（标准量）”，它往往在“是”的后面、“的几倍”的前面，抓住了一倍数也就很容易确立等量关系式。

（3）渗透等式性质

学生认识方程的最大困难在于受“程序性观点”（如4+5=9，从左往右运算）的影响，始终拘泥于具体运算（加、减、乘、除），而不会从整体关注，即把方程看成是一个等号两边相等的整体结构，因此，学生只有实现等式“程序性观点”向“结构性观点”（4+5=3+6，把等于号看作天平的指针）的转变，让思维关注点集中于方程表示的等量关系，对方程的认识才能达到更高水平。因此在小学低年级日常教学中就加强等式性质的渗透，将方程技能的训练贯穿于问题解决之中，为今后的方程教学打下良好的基础。如一上计算5+（）=12时，教师可结合天平称物体的具体情境（左边5个苹果，右边12个苹果，天平的左边应增添几个苹果，天平才平衡），通过演示来帮助学生学习，让学生感悟到左右两边同时减去5个苹果，这时天平平衡，即括号里的数填7。

三、沟通联系，多措并举善解方程

利用等式的性质解方程，对于形如“a－x=b、a÷x=b、ax =bx±c”的方程，按照现行教材编排体系，利用等式的性质求解时，学生往往感到无从下手，错误率较高。为此，我们对教材进行了适当重组，在实践中取得了较好的教学效果。

1. 渗透“合并（同类项）”和“消去”思想。增加整式的合并（同类项）和含有括号的整式加减运算。例如化简下列算式：3.2x+2x；18+x-12；3x+3.6+x； ab+ac；ax+a。合并（同类项）概念不出现，启发学生从乘法分配律角度去理解。

2.沟通“等式基本性质”与“四则关系” 解方程两种依据之间的联系。重点突破“a－x=b、 a÷x=b”，根据等式基本性质，可以解得“x= a－b 、x=a÷b ”，推理过程如下：“a－x=b ，则a－x＋x=b＋x, a=b＋x, b＋x=a， b＋x－b=a－b，x= a－b；a÷x=b ，则a÷x×x=b×x，a=b×x，b×x=a，b×x÷b=a÷b， x=a÷b”。通过推理让学生发现：一是不管未知数出现在哪个位置上，都能用等式的基本性质进行转化。二是结合等式性质理解四则运算关系的方法。刚才推出的结果其实就是四则关系中“减数=被减数—差、除数=被除数÷商”。实践证明，虽然花时较多，但效果较好，学生能感受到算术与代数之间的紧密联系，将代数方法与算术方法解方程有机糅合。

3.渗透“移项”的方法。负数的加减乘除虽然在小学阶段暂时不能与解方程挂上钩，但是作为初中“移项”的预备知识，将数与符号看作“一个整体”的观念，及早根据等式的基本性质推导，引出移项的方法。如x＋a=b变形为x=b－a相当于将“加a”移到右边变成“减a”，讨论总结出移项的规则：小往大处靠，即小的移往大的那边，变为相反的符号，原来的加号变为减号（相当于正号变为负号），减号变为加号（相当于负号变为加号）。

以上些许思考与调整，不仅拓宽了学生的解题思路，而且连通了小学、初中相同内容的不同表述，有效地提高了学生对知识系统的建构和把握，降低了学习的难度，克服了学生不愿列方程、不会列方程、不会解方程的弊端。

本文发表于《辽宁教育》，2013.02.71～73.

5000字