“图形的运动”学习中的典型错误及应对策略

陈金飞

《课程标准（2011年版）》将《课程标准（实验稿）》中的“空间与图形”改称为“图形与几何”。同时，把《课程标准（实验稿）》中的“图形与变换”改称为“图形的运动”，意在引导学生从运动的角度丰富和拓展对图形的认识，培养初步的空间观念。

“图形的运动”在义务教育第一学段主要是结合实例感受、辨认日常生活中的平移、旋转和轴对称现象，在第二学段主要是通过观察、操作等活动进一步认识平移、旋转和轴对称现象，学习在方格纸上画出平移或旋转后的图形，以及补全一个简单的轴对称图形。虽然学生结合生活经验和已有的数学知识并不难理解相关物体或简单图形的运动特点，但对“图形运动”前后对应点或对应边的确定方法，以及相关的操作步骤和过程往往困惑，并会出现各式各样的错误。因此，深入分析学生在学习“图形的运动”过程中可能出现的典型错误及其成因，对于帮助学生正确建构数学概念，掌握多维解题策略，突破思维定势，发展空间观念具有十分重要的意义。

一、利用生活经验，感知概念本质

在整个数学知识体系中，数学概念是最基本的构成元素，是人脑对现实对象的数量关系和空间形式本质特征的一种反映形式，也就是一种数学的思维形式。数学概念具有本质特征，掌握了数学概念的本质特征，就能经受住非本质特征信息的干扰，从众多的数学信息中选择有用信息加以整合并解决问题。“平移”和“旋转”是常见的两种运动方式，反映在义务教育阶段的数学课程中，主要是研究相关物体以及简单平面图形的平移和旋转。

“平移 ”和 “旋转 ”作为两个基础性的数学概念，小学数学教材没有给出形式化的定义。然而，我们需要思考的是，对数学概念“不作定义”并非说教学就可以停留在表层，不需要弄明白概念的内涵与本质。

[案例1]在算盘上拨珠，算珠的运动是（      ）。

A.旋转  B．平移   C．无法判断

部分学生选择A，认为珠是圆形的，可以滚动，所以算珠被拨时的运动是旋转。

[案例2]钟面上的分针从指向12走到指向6的运动过程是（      ）。

A.旋转  B．平移   C．无法判断

许多同学选择B，他们认为分针从指向12走到6之后，原来的位置和现在的位置处在同一条线上，所以这个运动过程是平移。

之所以出现上述错误，主要原因是学生对平移和旋转的理解还不够准确，认为“平移就是平平地移动”，“旋转就是滚动”或“旋转就要转一圈”，没有领悟概念的本质。那么数学课程中的“平移”和“旋转”的概念本质是什么？回答这样的问题，我们不妨来看一看它们在初中教材（第三学段）中的说法：平移是指平面图形的移动。它具有这样的特性：（1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，就得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；（2）新图形中的每一点，都是原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。旋转是指把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。不难发现，初中教材更加突出了“平移”、“旋转”运动过程中的点、线段、角、图形等的对应关系及其在运动中的不变性。

笔者在引导学生理解“平移”与“旋转”的概念时，注意回归生活现实，先要求学生对生活中一些物体的运动现象进行分类，例如：把火车在平直轨道上行驶、风车的转动、电梯的上下运行、吊扇的转动以及时针、分针的走动等按一定的标准分成两类，再引导他们说说为什么可以这样分。学生在分类的过程中，主动参与到对“平移”、“旋转”这两个概念本质属性的感知之中，并在观察、比较中体会“平移”与“旋转”的联系和区别。同时，适当引导学生比较平移或旋转前后相对应的“点”和“边”，初步感受这些“点”和“边”在运动过程中的变化特点，以帮助他们尽可能触及概念的“本质要素”。

当学生能够基于相对相对理性的认识进行判断时，不难发现：算珠的运动是算珠整体沿档杆作直线运动，应看作是平移；钟面上的分针从指向12走到指向6的过程是指针绕钟面上的中心在转动，与转动前后的位置是否处在同一条直线无关，应看作是旋转。由此可见，只有找准点、线、角、不变等 “关键要素”，才能触及概念的本质，也才能作出正确的判断。

二、把握运动要素，掌握操作方法

在初步理解“平移”和“旋转”基本含义的基础上，学生还需要进一步掌握在方格纸上平移或旋转一个简单平面图形的具体操作方法。但由于对概念理解有偏差或操作方法不清晰等原因，学生在画图时常常会出现形形色色的错误。例如，在平移一个图形时，学生往往把平移前后两个图形之间的空格理解为平移的距离，也有部分学生会在不经意间改变原图形的形状；在按要求旋转一个图形时，学生往往把握不好旋转的三个要素，即“旋转中心”、“旋转方向”和“旋转角度”，或没有围绕指定点进行旋转，或旋转方向发生偏差，或者旋转角度不合要求。

[案例3]把下面的松树图向右平移2格，画出平移后的图形。

部分学生给出了如下图的答案：

上例中，小学生由于受生活经验的影响，往往不能正确地确定一个图形平移的格数，更想不到依据某个点移动的格数来确定整个图形平移的格数。如何突破难点？笔者在教学时把平面图形的操作过程分解为三个层次：先教学“点”的移动，再过渡到“线段”的移动，最后组合为“图形整体”的移动。

如图，方格纸中的A点到A′点，向右平移了几格？线段AB到A′B′，向右平移了几格？

学生初步掌握将线段进行平移的方法之后，教师相机在竖直线段AB的下端，添上一条水平线段BC，成为下图：

线段平移解决了，图形整体的平移也就水到渠成。在教师的点拨下，学生逐步认识到：要平移整个图形，可以先平移一些重要的点，也可以先平移一些重要的边。例如，上面小房图的移动，可以关注小房图屋顶尖的那一个点，也可以关注小房图中的某一条边，尽管各人选择的方法不尽相同，但都能得到正确的结果。

[案例4]将小旗图围绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

组织交流时，我发现如下图的两种错误，其中左图三角旗的形状“悄然”发生了变化，右图学生把旋转方向弄反了。

在方格纸上按要求旋转简单图形是这部分内容的教学难点。学生在画旋转后的图形时容易出错，原因主要是学生的空间观念相对薄弱，对图形的整体感知和描述能力比较差。那么该如何突破难点，帮助学生掌握方法、发展空间观念呢？笔者认为可以从以下两个方面入手：

一是借助实物操作，引领学生在“做中学”，让他们亲身经历图形旋转的完整过程，以把握其中的规律，掌握相应的操作方法。教学时可以先剪一个与小旗一样的实物图片，让学生在方格纸上按要求转一转，然后重点引导他们关注旋转前后小旗的边或顶点所发生的变化，由此逐步明确画图步骤。同时，可要求学生按顺时针和逆时针方向分别旋转，在比较中反复体会影响旋转结果的关键要素。

二是注意从简单图形逐步过渡到稍复杂的图形，为学生搭建合适的台阶。在实物操作基础上，可以让学生尝试旋转简单的图形。例如先旋转线段，再旋转长方形。在学生按要求旋转的过程中，要引导他们用自己的语言说清楚是“绕哪个点旋转”、“按什么方向进行旋转”、“旋转了多少度”等操作过程中的基本问题。掌握了简单图形的旋转方法后，可以引入三角形、梯形、实物图等稍复杂的图形。在探索稍复杂图形的旋转方法时，还可以借助多媒体课件等直观手段，将旋转的过程动态演示出来；也可以借助实物教具，用来检验旋转结果的正确性。总而言之，用于旋转的图形要遵循由简单到复杂的原则，对每一类图形进行旋转时，要变换旋转的要素，比较旋转前后构成图形的点或线段的位置，反复体会，从而形成必要的空间观念。

三、加强审题训练，克服思维定势

有些学生受习惯影响，常常错误地认为，平移的方向要么从上往下，要么从左往右，而旋转的方向通常就是顺时针。因而遇到一些稍复杂的平移和旋转现象时，就会囿于思维定势而产生判断失误。

[案例5]如图，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（         ）

（A）先向左平移5个单位，再向下平移2个单位

（B）先向右平移5个单位，再向下平移2个单位

（C）先向左平移5个单位，再向上平移2个单位

（D）先向右平移5个单位，再向上平移2个单位

面对方格图中的两个三角形，有些学生想当然地认为左边的三角形通过平移后得到了右边的三角形，所以选择D作为正确答案。

[案例6]下列的四组图形中，哪一组中的一个长方形按逆时针方向旋转90°后可以得到另一个长方形？

（A）①②  （B）②③  （C）①④   （D）②④

部分学生选A，他们认为“站”着的长方形经过旋转正好“躺”下来。例如图①和②中“站”着的长方形绕左下方的顶点逆时针旋转90°都能得到“躺”着的长方形。显然，这些学生没有注意到长方形的对角线是否重合。进一步分析，没有选图④的同学通常认为上面的每组图形都是“站”着的长方形经过旋转之后得到“躺”着的长方形，因而图③和图④是“站”着的长方形经过顺时针旋转得到的。这种错误认识的主要原因是审题不清，对旋转的三要素掌握不牢，同时受思维定势的消极影响。如何消除定势的消极影响？笔者认为，教师要蹲下身来，从学生的角度模拟错误的情景，寻找错误的原因，探索改错的方法。

一要加强审题训练。抓住平移与旋转的关键要素，对“平移方向”、“平移距离”以及“旋转中心”、“旋转方向”、“旋转角度” 等关键语句圈圈画画；画图时对关键性的地方着重标记，克服先入为主的思维定势。

二要重视对比练习。变换旋转方向、旋转角度、旋转中心等关键要素，让学生在对比与甄别中获得解题经验，从而有效克服定势的消极作用。例如，下图中：

（1）指针从指向A开始，逆时针旋转90°，这时指针指向（     ）；

（2）指针从指向B开始，顺时针旋转90°，这时指针指向（    ）；

（3）指针从指向C旋转到指向D，是（     ）时针旋转了90°；

（4）指针从指向B旋转到指向A，是（    ）时针旋转了90°。

三要注意表述方式。学生习惯于解决一些顺向表述的数学问题，例如，把三角形ABC先向右平移3格，再向下平移2格，画出平移后的图形。

经常解决这样的问题，思维就会出现一些固化的倾向，而缺少必要的灵活性和多样性。实际教学时，我们不妨适当改变表述的方式，以启发学生打破思维定势，主动尝试各种不同的思维方式。例如，可以将上面的问题改编为：把三角形ABC先向上平移2格，再向左平移3格,正好到达下图的位置。你能在图中画出三角形ABC原来的位置吗？这样，由运动的结果状态反过来推想运动开始前的状态，不仅有利于学生加深对平移过程和特点的理解，而且有利于他们克服思维定势，培养思维的灵活性和创造性。

“图形的运动”是“图形与几何”领域的基本内容之一，也是培养学生空间观念的重要抓手。组织这部分内容的教学时，除了着眼于不断改进“教”的策略，不断提高教学的针对性和实效性，还应更多地关注学生的“学”，鼓励和引导他们认真观察、仔细比较、主动操作、大胆想象，在形式多样的活动中丰富认识、发现规律、掌握方法。只有这样，才能从根本上减少错误，从而使相关教学目标得到真正的落实。

【原文出处】《小学数学教育》（下半月），2015.11.9～10、14

作者简介：陈金飞，1974年生，男，江苏启东人，江苏省启东实验小学副校长，中学高级教师，主要从事小学数学教学研究。

【作者单位】江苏省启东实验小学，联系地址：江苏省启东市人民中路720号（226200），联系电话：15962731800，E-mail:cjxxcjf@163.com。